$A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n \ne \emptyset$ es válida para todos los $n$ . Debe ser que $\bigcap_{n = 1}^{\infty} A_n \ne \emptyset$ ?

Question

Dejemos que $A_1, A_2, A_3, \,\ldots$ sean conjuntos tales que $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n \ne \emptyset$ es válida para todos los $n$ .

¿Debe ser que $\bigcap_{n = 1}^{\infty}A_n \ne \emptyset$ ?

He respondido que no. Aquí está mi "prueba".

Definir $A_n = \{n+1, n+2, \,\ldots\}$ .

Entonces $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = \{n+1, n+2, \,\ldots\}$ .

Para todos los enteros $n$ , $\{n+1, n+2, \,\ldots\} \ne \emptyset$ ya que contiene $n+1$ y no hay ningún número entero mayor.

Ahora considere $\bigcap_{n = 1}^{\infty} A_n$ .

Supongamos que contiene un número entero $m$ . Pero $m \notin A_{m}$ por definición, por lo que $m \notin \bigcap_{n = 1}^{\infty} A_n$ Así que $\bigcap_{n = 1}^{\infty} A_n = \emptyset$ . $$\tag*{$ \N - Plaza negra $}$$

¿Es eso correcto?

Lo pregunto porque en mis notas de clase, la definición de $\bigcap_{n = 1}^{\infty} A_n$ es $\{x : x \in A_n \ \forall n \}$ que (para mí) parece ser equivalente a " $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n \ne \emptyset$ es válida para todos los $n$ ", lo que significaría, por supuesto, que la respuesta es afirmativa.

Answer 1

La clave aquí, como Ian El comentario de la Sra. G., es que la primera afirmación $\;\langle \forall n :: \langle \cap i : i \leq n : A_i \rangle \not= \emptyset \rangle\;$ es (por las definiciones) equivalente a $$ \langle \forall n :: \langle \exists x :: \langle \forall i : i \leq n : x \in A_i \rangle \rangle \rangle $$ mientras que la segunda declaración $\;\langle \cap i :: A_i \rangle \not= \emptyset\;$ equivale a $$ \langle \exists x :: \langle \forall i :: x \in A_i \rangle \rangle $$

Estos dos no son equivalentes, como usted demuestra correctamente con su contraejemplo de $\;A_i = \{j | j > i\}\;$ que hace que la primera afirmación sea verdadera (eligiendo $\;x := n+1\;$ ) y el segundo falso.

$ \newcommand{\calc}{\begin{align} \quad &} \newcommand{\calcop}[2]{\\ #1 \quad & \quad \text{"#2"} \\ \quad & } \newcommand{\endcalc}{\end{align}} $ Sin embargo, hay que tener en cuenta que la segunda afirmación implica la primera:

$$\calc \langle \forall n :: \langle \exists x :: \langle \forall i : i \leq n : x \in A_i \rangle \rangle \rangle \calcop{\Leftarrow}{logic: strengthen by weakening range of $ \N para todos los casos; $} \langle \forall n :: \langle \exists x :: \langle \forall i :: x \in A_i \rangle \rangle \rangle \calcop{\Leftarrow}{logic: remove unused $ \N para todos los n\N casos; $} \langle \exists x :: \langle \forall i :: x \in A_i \rangle \rangle \endcalc$$

Answer 2

Tome $A_n = \left(0, \dfrac{1}{n}\right)$ entonces $\displaystyle \bigcap_{k=1}^n A_k = \left(0,\dfrac{1}{n}\right)$ et $\displaystyle \bigcap_{k=1}^\infty A_k = \emptyset$ .