Descomposición de $C_0^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ -función

Question

Tengo la siguiente pregunta como parte de un curso de análisis de fourier..

Considere $\phi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ con $\phi(0)=0$ . Aparentemente entonces podemos escribir $$\phi =\sum_{j=1}^nx_j\psi_j $$ para las funciones $\psi_j$ en el mismo espacio, y me gustaría demostrarlo.

Sin embargo, estoy un poco atascado en esto. Los pasos implicarían que empezáramos a integrar $$\int_0^{x_1}D_1\phi(t,x_2,\cdots, x_n)dt+\phi(0,x_2,\cdots, x_n) $$

y seguir haciéndolo con las demás variables, y cambiar el intervalo de integración a [0,1]. A continuación, obtenga todo en $C_0^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ escribiendo $$\phi = \sum \frac{x_i^2\phi(x)}{\left\|x\right\|^2 } $$ y parchear todo con una partición de la unidad. No entiendo lo que quieren decir... Una partición de la unidad es una secuencia de funciones que suman 1 para todos $x\in \mathbb{R}^n$ .

Answer 1

El resultado se puede demostrar por inducción en $n$ .

Para $n=1$ , simplemente escriba $\phi(x)=\int_0^x\phi'(t)dt=x\int_0^1\phi'(sx)ds$ y el mapa $x\mapsto \int_0^1\phi'(sx)ds$ es suave y tiene un soporte compacto.

Supongamos que el resultado es cierto para $n-1\geqslant 1$ . Tenemos $$\phi(x)=x_n\int_0^1\partial_n\phi(x_1,\dots,x_{n-1},tx_n)dt+\varphi(x_1,\dots,x_{n-1},0).$$ Como argumento similar al del caso $n=1$ muestra que $(x_1,\dots,x_n)\mapsto \int_0^1\partial_n\phi(x_1,\dots,x_{n-1},tx_n)dt$ es suave con un soporte compacto. Por inducción, como $(x_1,\dots,x_{n-1})\to \phi(x_1,\dots,x_{n-1},tx_n)dt+\varphi(x_1,\dots,x_{n-1},0)$ es suave con soporte compacto, podemos escribirlo como $\sum_{j=1}^{n-1}x_j\psi_j(x_1,\dots,x_{n-1})$ .

Pero aún no ha terminado, ya que $(x_1,\dots,x_n)\mapsto \psi_j(x_1,\dots,x_{n-1})$ no tiene un compacto en $\Bbb R^n$ a menos que $\psi_j\equiv 0$ . Sin embargo, podemos encontrar una función suave con soporte compacto $\chi$ tal que $\chi(x)=1$ siempre que $x\in\operatorname{supp}(\phi)$ . Como $\phi(x)=\phi(x)\chi(x)$ hemos terminado.