Deje $G$ ser un grupo finito y $\phi:G \to K$ ser un surjective homomorphism y $n \in \mathbb{N}. $ Si $K$ tiene un elemento de orden $n,$ lo hace $G.$

Question

Deje $G$ ser un grupo finito$\ ,\phi:G \to K$ ser un surjective homomorphism y $n \in \mathbb{N}. $ Si $K$ tiene un elemento de orden $n,$ lo hace $G.$

Puedo saber si mi prueba es correcta? Gracias.

Prueba: Supongamos $w \in K$ tal que $o(w)=n.$ También, $\ \exists g \in G$ tal que $w = \phi(g), $donde $w^n = \phi(g^n)=e_K.$

Desde $|G| < \infty, o(g^n) \leq |G|.$ Deje $m = \min\{n' \in \mathbb{N}:n' \leq |G| \ \wedge g^{nn'} = e_G\}.$

Dado cualquier $s \in \mathbb{N}$ tal que $g^s=e_G, $ $\phi(g^s)=w^s=e_K, $donde $n|s.$

Desde $(g^n)^{\frac{s}{n}} = e_G$ $m$ es el mínimo elemento, $\frac{s}{n} \geq m, $ donde $s \geq mn$

Por lo tanto, $o(g) =mn$ $o(g^m)=n.$

Answer 1

La prueba está OK. Pero usted puede usar el bien conocido y generalmente útiles hecho de que un grupo cíclico de orden $m$ tiene un subgrupo cíclico (y, por tanto, elementos) de cualquier orden $d$ dividiendo $m$, para reducir esto a un one-liner. Con $o(w)=n$, $\phi(g)=w$ y $m=o(g)$ ha $e_K=\phi(e_G)=\phi(g^m)=w^m$, lo $n$ divide $m$, y el subgrupo cíclico $\langle g\rangle$$G$, que tiene orden de $m$, contiene un elemento de orden $n$.

Answer 2

Supongamos que phi(x) = y. Entonces n divide a m=s(x). (Para ver esto de escribir m=qn+r.) Ahora consideremos el subgrupo cíclico C generado por x. Como n divide a m, C tiene un elemento de orden n.