$\sum k! = 1! +2! +3! + \cdots + n!$ existe una fórmula genérica para esto?

Question

Me encontré con una pregunta en la que necesitaba para encontrar la suma de los factoriales de los primeros $$ n números. Así que me preguntaba si hay alguna fórmula genérica para esto?

Como no hay una fórmula genérica para la serie:

$$ 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} $$

o

$$ 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + \cdots + n^{2} = \frac{n(n+1)(2n + 1)}{6} $$

Es que no hay ningún fórmula:

$$ 1! +2! +3! + 4! + \cdots + n! $$

y

$$ {1!}^2 +{2!}^2 +{3!}^2 + \cdots + {n!}^2 $$?

Gracias de antemano.

Si no, hay alguna investigación sobre la fabricación de este tipo de leche de fórmula? Porque estoy interesado.

Answer 1

Además de las funciones especiales que J. M., un asintótica de expansión puede ser calculada $$ \begin{align} \sum_{k=0}^n k! &=n!\a la izquierda(\frac11+\frac1n+\frac1{n(n-1)}+\frac1{n(n-1)(n-2)}+\dots\right)\\ &=n!\left(1+\frac1n+\frac1{n^2}+\frac2{n^3}+\frac5{n^4}+\frac{15}{n^5}+O\left(\frac1{n^6}\right)\right)\\ &=\sqrt{2\pi n}\frac{n^n}{e^n}\left(1+\frac{13}{12n}+\frac{313}{288n^2}+\frac{108041}{51840n^3}+\frac{12857717}{2488320n^4}+O\left(\frac1{n^5}\right)\right) \end{align} $$ Como con la mayoría de las expansiones asintóticas, la serie no converge, y no puede ser utilizado para obtener una respuesta exacta, pero da una buena aproximación.

Edit: se me olvidó dar $$ \begin{align} \sum_{k=0}^nk!^2 &=n!^2\left(\frac11+\frac1{n^2}+\frac1{n^2(n-1)^2}+\frac1{n^2(n-1)^2(n-2)^2}+\dots\right)\\ &=n!^2\left(1+\frac1{n^2}+\frac1{n^4}+\frac2{n^5}+\frac4{n^6}+\frac{10}{n^7}+O\left(\frac1{n^8}\right)\right)\\ &=2\pi\frac{n^{2n+1}}{e^{2n}}\left(1+\frac1{6n}+\frac{73}{72n^2}+\frac{1049}{6480n^3}+\frac{157541}{155520n^4}+O\left(\frac1{n^5}\right)\right) \end{align} $$

Answer 2

(Demasiado largo para un comentario)

No sé si hay una forma más simple, pero la suma de los factoriales, sin duda, ha sido bien estudiado. En la literatura, lo que se conoce como la izquierda factorial (aunque este término también es utilizado para el más común subfactorial) o el Kurepa función (después de la de los Balcanes matemático Đuro Kurepa).

En particular, por $K(n)=\sum\limits_{j=0}^{n-1}j!$ (usando la notación $K(n)$ después de Kurepa), tenemos como una continuación analítica de la representación integral

$$K(z)=\int_0^\infty \exp(-t)\frac{t^z-1}{t-1}\mathrm dt,\quad \Re z>0$$

y una continuación a la mitad izquierda del plano-es posible a partir de la ecuación funcional de $K(z)-K(z-1)=\Gamma(z)$

Una expresión en términos de "más habitual" funciones especiales, equivalente a la que en Shaktal del comentario, es

$$K(z)=\frac1{e}\left(\Gamma(z+1) E_{z+1}(-1)+\mathrm{Ei}(1)+\pi i\right)$$

donde $E_p(z)$ y $\mathrm{Ei}(z)$ son las integrales exponenciales.

La suma de los cuadrados de los factoriales no parece haber una simple forma cerrada, pero la secuencia aparece en la OEIS.