Confundido sobre la intuición detrás de la derivada de Lie

Question

Estoy tratando de arreglar mi intuición detrás de $\mathcal L_X T$ , donde $T$ es cualquier campo tensorial. Preferiría explicaciones que no fueran del tipo $\mathcal L_XY=[X,Y]$ (No estoy seguro de cómo se extiende esto al caso en que $Y$ es un campo tensorial arbitrario).

Tengo dos preguntas concretas, pero las explicaciones más allá de responder a estas preguntas son más que bienvenidas.

1. Denote el flujo de $X$ por $\varphi$ . Ciertamente $(\mathcal L_XT)_p$ depende de ambos $X|_U$ y $T|_U$ , donde $U$ es una vecindad arbitrariamente pequeña de $p$ . Pero, ¿depende de los valores de $X$ y $T$ en todos los $U$ o sólo sus valores en la línea de flujo, es decir $\{\varphi_t(p)\}_{t\in\mathbf R}\cap U$ ? Más concretamente, ¿hay algún ejemplo explícito de $X$ , $X'$ (con flujo $\varphi'$ ), y $T$ , tal que para algunos $p$ tenemos $\varphi_t(p)=\varphi'_t(p)$ (es decir, $X=X'$ en la línea de flujo a través de $p$ ) pero $(\mathcal L_XT)_p\neq(\mathcal L_{X'}T)_p$ ?

2. [Lee's Múltiples riemannianos Ejercicio 4-3(b)]. Demuestre que existe un campo vectorial en $\mathbf R^2$ que se desvanece a lo largo del $x$ -pero cuya derivada de Lie con respecto a $\partial_x$ no desaparece en el $x$ -eje.

   Mi intento fallido en este problema: Supongamos $V=f\partial_x + g\partial_y$ es un campo vectorial de este tipo. Entonces $f(x,0)=g(x,0)=0$ para todos $x$ por hipótesis. Utilizando $\mathcal L_XY=(XY^i-YX^i)\partial_i$ tenemos $\mathcal L_{\partial_x}V=(\partial_xf-0)\partial_x+(\partial_xg-0)\partial_y$ que se supone que es distinto de cero en alguna parte del $x$ -eje, es decir, hay algún $x_0$ tal que $\partial_xf(x_0,0)\neq0$ o $\partial_xg(x_0,0)\neq0$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que $\partial_xf(x_0,0)\neq0$ . Así que ahora tenemos que llegar a algún $f:\mathbf R^2\to\mathbf R$ tal que $f(x,0)=0$ para todos $x$ pero $\partial_xf(x_0,0)\neq0$ para algunos $x$ , lo cual es una contradicción. ¿Qué ha fallado?

Answer 1

En cuanto a la intuición de la derivada de Lie, quizá pueda añadir algo al comentario de Qiaochu Yuan: La forma más sencilla de entender la diferenciación es considerar los flujos $\phi_t$ Utilícelos para tirar hacia atrás $T$ y luego evaluar en el punto $p$ . Este se encuentra en la fibra del haz tensorial apropiado en $p$ para cualquier valor de $t$ . Por lo tanto, se obtiene una curva suave en un espacio vectorial de dimensión finita, y se puede diferenciar simplemente en $t=0$ para obtener un elemento de ese espacio vectorial. Habría que trabajar para deducir que esto depende suavemente de $p$ pero para el propósito de la intuición eso no es necesario.

Esta descripción también implica la respuesta a la pregunta 1, pero puedo darle un argumento más directo: Es cierto que la derivada de Lie es un operador local, por lo que el valor de $\mathcal L_XT$ en un punto $p$ depende únicamente de las restricciones de $X$ y $T$ a un barrio arbitrariamente pequeño $U$ de $X$ . Pero es mucho más cierto, porque la derivada de Lie es un operador diferencial de primer orden. Esto significa que sólo depende de los conjuntos de $X$ y $T$ en $p$ . (Hay varias formas de hacer esto explícito.) Si se observa la fórmula de coordenadas para la derivada de Lie, se ve que para calcular $\mathcal L_XT(p)$ sólo necesita los componentes de $T$ y sus derivadas en dirección $X(p)$ . Por lo tanto, es cierto que el valor de $\mathcal L_XT$ en $p$ depende únicamente de la restricción de $T$ a la línea de flujo de $X$ a través de $p$ .

La pregunta 2 se responde en el comentario de Jack Lee.