Es posible que todos los de la subserie convergen a irrationals?

Question

No existe una positiva disminución de la secuencia $\{a_i\}$ $\sum_{i\in\mathbb{N}} a_i$ convergentes, que $\forall I\subset\mathbb{N},\sum_{i\in I}a_i$ es un número irracional?

Un ejemplo de ello podría dar lugar a un cerrado perfecto conjunto que no racionales. Yo sólo lo puede hacer infinitas $I$ (por ejemplo supongamos $a_i=10^{-p_i}$ donde $p_i$ $i$th prime.), pero el conjunto de infinitas sumas no está cerrado.

Answer 1

Vamos $$a_n=\frac{\sqrt{2}}{10^{n!}}.$$ La suma de cualquier número finito (no-cero!!!) número de la $a_i$ es irracional. La suma de un número infinito de las $a_i$ es trascendental, ya que $\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{10^{n_i!}}$ es un número de Liouville.

Answer 2

Otro fáciles de describir ejemplo de un conjunto perfecto de irrationals consiste en el conjunto de todas las $x\in(0,1)$ cuya continua fracción que tiene la forma de $$\cfrac1{a_0+\cfrac1{a_1+\cfrac1{a_2+\cfrac1{\dots}}}},$$ where each $a_i$ is either $1$ or $2$. In fact, the set of irrationals in $(0,1)$ is precisely the set of numbers whose continued fraction is infinite. Many perfect sets can be obtained by varying the idea above. Descriptive set-theorists recognize the example at once: The use of continued fractions naturally identifies the set of irrationals with the set $\mathbb N^{\mathbb N}$ of infinite sequences of naturals (sometimes called Baire space). The Cantor set is naturally identified with $\{1,2\}^{\mathbb N}$, y este conjunto corresponde, a través de fracciones continuas, para el ejemplo dado. Vea aquí.

Para otro ejemplo, ahora que hemos mencionado el conjunto de Cantor $C$, es suficiente para mostrar que no es una traducción de lo que consta sólo de irrationals. Ver aquí para esto. Curiosamente, no parece saber nada de ejemplos concretos de reales $r$ tal que $C+r$ sólo contiene irrationals.

Respecto a tu pregunta, un problema interesante es ver qué tipo de conjuntos se puede obtener como el conjunto de sumas de subserie de una determinada serie. Es decir, dada una secuencia $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ de los números positivos convergente a cero, tenemos en cuenta el conjunto $\Sigma(\{x_n\})$ de todos los números que son la suma de un (finito o infinito, o incluso vacía) subsequence de $\{x_n\}$. La pregunta es, ¿qué conjuntos de $\Sigma(\{x_n\})$ para algunos tal secuencia $\{x_n\}$.

Esta cuestión se resuelve por Guthrie y Nymann, y una buena auto-contenido de la exposición de los resultados se puede encontrar en un artículo reciente por Zbigniew Nitecki:

• Si $\sum_n x_n$ diverge, entonces $\Sigma(\{x_n\})=[0,\infty)$.
• De lo contrario, $\Sigma(\{x_n\})$ es uno de los siguientes:
  1. Una unión finita de (no trivial) cerrado delimitado intervalos.
  2. Un conjunto de Cantor.
  3. Un "simétrica Cantorval".

El término "Cantorval" se debe a Pedro Mendes y Fernando Oliveira. Un simétrica Cantorval es, por definición, no está vacío compacto $S\subseteq\mathbb R$ tal que

1. $S=\overline{\stackrel{\circ} S}$ , $S$ es el cierre de su interior, y
2. Ambos extremos de no trivial de componentes conectados de $S$ son de acumulación de puntos de trivial (es decir, de un punto), los componentes de $S$.

Como todos los conjuntos de Cantor son homeomórficos, por lo que todos Cantorvals son homeomórficos así.

Nitecki de papel, Subsum establece: Intervalos de conjuntos de Cantor, y Cantorvals, se puede descargar en el ArXiv. Es un papel bonito, y la recomiendo. Asimismo, se aborda el caso de que la secuencia no decreciente (pero todavía converge a cero), o cuando no todos los términos son positivos. Esto, añadido a la generalidad, no cambia nada: o se obtiene una desenfrenada intervalo que contiene a $0$ (y puede ser igual a $\mathbb R$), o un conjunto perfecto cuyo casco convexo es $[a,b]$ y es simétrica sobre el punto medio de este intervalo, donde: $a,b$ la extensa reales de los que la suma de los positivos y los negativos partes de la secuencia, respectivamente. En este caso, el conjunto es de nuevo una de las tres posibilidades mencionadas anteriormente.

Tenga en cuenta que la única manera de no sólo obtener los números irracionales en $\Sigma(\{x_n\})\setminus\{0\}$ si $\Sigma(\{x_n\})$ es un conjunto de Cantor.

Un ejemplo fácil que esto es posible se describe en la respuesta. Sospecho que el conjunto (no vacío) de la subserie de $\sqrt2\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}$ es otro ejemplo, pero a pesar de todo el infinito de la subserie de $\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}$ son obviamente irracional, para demostrar que ellos son, de hecho trascendental parece bastante más complicado que el de argumentar en términos de números de Liouville, como en su respuesta.