¿Por qué el número imaginario $i$ satisfacer $i\times 0=0$ ? Quiero decir, no sabemos realmente qué $i$ es. ¿Cómo podemos estar seguros de ello? Creo que hay una razón para que los matemáticos decidan eso.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Ignora esta respuesta si nunca has oído hablar de la multiplicación de matrices. Mejor aún, aprender la multiplicación de matrices ¡y luego leer esta respuesta!
La respuesta a tu pregunta depende de la definición de números complejos que utilices.
Por ejemplo, me gusta pensar en los números complejos como matrices de la forma $$ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} $$ donde $a$ y $b$ son números reales. Esto nos permite definir dos números complejos \begin{align*} \mathbf 0 &= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} & i &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align*} Por lo tanto, tenemos la identidad $$ \mathbf 0\cdot i = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 0+0\cdot 1 & 0\cdot(-1)+0\cdot 0\\ 0\cdot 0+0\cdot 1 & 0\cdot (-1)+0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \mathbf0 $$
Una de las cosas buenas de definir los números complejos de esta manera es que evitamos la confusa ecuación $i=\sqrt{-1}$ . Tampoco tenemos que recurrir a usar palabras tontas como "imaginario".
Sin embargo, hay que tener en cuenta que tenemos $$ i^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$ Así, si definimos el número complejo $$ \mathbf{1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ entonces recuperamos la fórmula $$ i^2=-\mathbf{1} $$ Para convencerse de que nuestra definición del número complejo $\mathbf1$ no es arbitraria, tenga en cuenta que $\mathbf 1$ disfruta de la propiedad $$ \mathbf 1 \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} $$ Esto es notablemente similar a la célebre ecuación $1\cdot a=a$ . También cabe destacar que el número complejo $\mathbf0$ satisface $$ \mathbf0+ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+a & 0-b \\ 0+b & 0+a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} $$ que es similar a nuestra ecuación habitual $0+a=a$ .
La cuestión es que la aritmética compleja "se siente" como la aritmética ordinaria, pero es realmente diferente. Como señala @Hurkyl, los artilugios algebraicos que se comportan así se llaman anillos .
PepeOfMath
Puntos
104
Al igual que los números reales, podemos escribir: $0z = (0+0)z = 0z + 0z$ . La anulación de los términos similares en cada lado nos permite ver que $0 = 0z$ . Por lo tanto, esto es realmente una propiedad del propio cero.
Además, como otros han mencionado, los números complejos (incluidos los imaginarios) se entienden bastante bien. Sin embargo, un matiz importante es que la definición de @iHubble lleva rápidamente a contradicciones (como utilizar las propiedades de las raíces cuadradas para demostrar que $-1 = i^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{(-1)^2} = 1$ ). En su lugar, es mejor definir siempre $i$ como un número tal que $i^2 = -1$ .
Hurkyl
Puntos
57397
Anthony Shaw
Puntos
858
Técnicamente, $0\,i\not\in\mathbb{R}$ en su lugar, $0\,i\in\mathbb{C}$ . Así, siendo (¿excesivamente?) pedante, $0\times i\ne0$ ; en cambio $0\times i=0+0\,i$ . Sin embargo, al ser el elemento cero de $\mathbb{C}$ , solemos abreviar $0+0\,i$ como $0$ no significa un elemento de $\mathbb{R}$ sino un elemento del subconjunto de $\mathbb{C}$ que es homeomorfo a $\mathbb{R}$ Es decir $\{x+0\,i:x\in\mathbb{R}\}$ . Con esta abreviatura hacer tienen $0\times i=0$
Este comentario por AlexB dice
Lo que pasa es que cuando uno define los enteros, estos vienen con una incrustación canónica de $\mathbb{N}$ . Del mismo modo, los racionales vienen con una incrustación canónica de $\mathbb{Z}$ y así sucesivamente. Por tanto, tiene sentido hablar de subconjuntos. De hecho, resulta tan engorroso distinguir entre subconjuntos genuinos e imágenes bajo una incrustación que uno abandona rápidamente esta distinción en la práctica, a menos que uno tenga que pensar realmente en los fundamentos.
La pregunta "¿Por qué el número imaginario $i$ satisfacer $i\times0=0$ " me parece bastante fundacional, por lo que creo que mi planteamiento anterior parece adecuado.
Una vez que hayamos establecido por qué $i\times0=0$ Entonces podemos seguir adelante como dice Arturo Magidin en esta respuesta :
Así, aunque en realidad son conjuntos muy diferentes, tenemos copias de cada uno de ellos dentro del "siguiente", copias que respetan todas las estructuras que nos interesan, por lo que podemos seguir pensando que son "subconjuntos".
