¿Puedes encontrar un polinomio mínimo de $A^n$ si se conoce el polinomio mínimo de $A$ ?

Question

¿Puedes encontrar un polinomio mínimo de $A^n$ si se conoce el polinomio mínimo de $A$ ?

• Hablo de polinomios mínimos de matrices.
• Lo pregunto de forma general, sé que en algunos casos se pueden utilizar trucos algebraicos
  o alguna otra astucia.
• $n$ es sólo un número entero, no está conectado a la matriz de ninguna manera.

Answer 1

Esto puede responderse en general examinando la estructura de Jordan de $A$ . Recordemos que los valores propios de $A^n$ son precisamente $\lambda^n$ para cada valor propio $\lambda$ de $A$ . La multiplicidad se mantiene.

Si el polinomio mínimo contiene un factor de la forma $x^k$ entonces esto se transforma en $x^{\left\lceil\frac{k}{n}\right\rceil}$ .

Factores de la forma $(x-\lambda)^k$ se conservan como $(x-\lambda^n)^k$ . Si sucede que tenemos $\lambda_1^n = \lambda_2^n$ para distintos valores propios $\lambda_1$ y $\lambda_2$ , entonces tomamos el factor con el mayor exponente.