1) OP es, básicamente, preguntándose cómo Weinberg en el medio de la p. 112 puede ampliar la integración de la región de$^1$
$${\cal J}^{\pm}_{\beta}~=~ \int_{m_{\alpha}}^{\infty} \!dE_{\alpha}\frac{e^{-iE_{\alpha}t}g(E_{\alpha})T_{\beta\alpha}^{\pm}} {E_{\alpha}-E_{\beta}\pm i0^{+}}$$
para incluir el eje real negativo
$${\cal J}^{\pm}_{\beta}~=~ \int_{-\infty}^{\infty} \!dE_{\alpha}\frac{e^{-iE_{\alpha}t}g(E_{\alpha})T_{\beta\alpha}^{\pm}} {E_{\alpha}-E_{\beta}\pm i0^{+}},$$
donde $g:E_{\alpha}\mapsto g(E_{\alpha})$ es una función de meromorphic?
2) Que Weinberg (implícitamente) asume meromorphicity de la $g:D\subseteq \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ función puede deducir más abajo en la página. 112, donde escribe que
[...] podemos cerrar el contorno de la integración para la integración de la variable $E_{\alpha}$ [...],
lo que es una clara referencia al teorema de los residuos, que a su vez supone meromorphicity. También Weinberg escribe en la misma página de$^1$
[...] Las funciones $g(E_{\alpha})$ $T_{\beta\alpha}^{\pm}$ puede, en general, se espera que tenga algunas singularidades en los valores de $E_{\alpha}$
con finito [...] imaginaria [...]
Así que no hay duda de que Weinberg asume meromorphicity de $g$.
3) Por otro lado, en la parte inferior de la p. 109, Weinberg escribe$^1$
[...]Por lo tanto, debemos considerar la ola de paquetes, superposiciones $\int\! dE_{\alpha}~g(E_{\alpha})\Psi_{\alpha}$ de los estados, con una amplitud $g(E_{\alpha})$ que no es cero y que varían suavemente sobre algunos finito rango de $\Delta E$ de energías.[...]
Ahora de acuerdo a la identidad teorema de holomorphic funciones, si una función $g:D\subseteq \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ es cero en un subconjunto $S\subseteq D$ que tiene un punto de acumulación $c$ en el dominio $D$, $g\equiv 0$ es idéntica a cero. Sin embargo, cualquier intervalo de $I\subseteq \mathbb{R}$ sobre la línea real de la no-cero de longitud tiene la acumulación de puntos. Así que si Weinberg en la cita anterior significa, literalmente, que $g$ es matemáticamente cero fuera de algunos intervalos finitos $I\subseteq \mathbb{R}$, $g\equiv 0$ sería idéntica a cero en todo el plano complejo.
Por supuesto Weinberg no significa que. Él sólo significa que $g$ fuera de algunos finito gama es tan pequeño de valores, que a la precisión $\epsilon$ que estamos trabajando, no importa si nos incluyen la integración de la región de $\mathbb{R}\backslash I$, o no.
En particular, matemáticamente hablando, Weinberg sólo ha sido la condición
$$\etiqueta{3.1.12} \int_{m_{\alpha}}^{\infty} \!dE_{\alpha}~
e^{-iE_{\alpha}t} g(E_{\alpha}) \Psi^{\pm}_{\alpha}~\longrightarrow~
\int_{m_{\alpha}}^{\infty} \!dE_{\alpha}~
e^{-iE_{\alpha}t} g(E_{\alpha}) \Phi_{\alpha}
~\text{para}~ t\a\mp\infty \qquad $$
dentro de algunos de precisión $\epsilon$. Sin embargo, la precisión $\epsilon$ puede hacerse arbitrariamente multa por parte de la preparación de más y más marcada wavepackets $g$.
4) Si uno desea tener un ejemplo concreto de una $g$ función, uno puede pensar de una función de Lorenz (aka. Breit–Wigner o distribución de Cauchy),
$$g(E_{\alpha}) ~=~ \frac{1}{\pi}\frac{\delta}{(E_{\alpha}-E_0)^2+\delta^2}, \qquad \int_{-\infty}^{\infty}\! dE_{\alpha}~g(E_{\alpha})~=~1,$$
para tomar las decisiones adecuadas de las constantes de $E_0$$\delta$.
5) por último, no se debe perder de vista Weinberg es el principal objetivo en la Sección 3.1, es decir, argumentar que el $\pm i0^{+}$ receta en la Lippmann-Schwinger ecuaciones
$$\etiqueta{3.1.17}\Psi^{\pm}_{\alpha}
~=~\Phi_{\alpha}+\int\!d\beta\frac{T_{\beta\alpha}^{\pm}\Phi_{\beta}} {E_{\alpha}-E_{\beta}\pm i0^{+}}.$$
El Lippmann-Schwinger ecuaciones (3.1.17) no son una aproximación, y que son independientes de la elección de wavepacket $g$.
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$^1$ A simplificar la discusión, nos hemos tomado la libertad de sustituir Weinberg más general $\alpha$-integración con sólo un $E_{\alpha}$-integración. Aquí
$$\tag{3.1.4} \int \!d\alpha \cdots \equiv \sum_{n_1\sigma_1n_2\sigma_2\cdots}\int d^3p_1 d^3p_2 \cdots$$
El cambio de la integración de la variable de $E_{\alpha}$ hasta el momenta no resuelve OP problema, fundamentalmente debido a que todavía tiene que escoger la rama pertinentes de la raíz cuadrada que tiene parte real positiva, de modo que no nos lleve más cerca de la comprensión de las energías negativas.
