Distribución continua uniforme de RV con límite superior de ser otro continuo uniforme RV

Question

Si $X \sim U(a, b)$$Y \sim U(a, X)$, entonces puedo decir que $Y \sim U(a, b)?$

Estoy hablando de un continuo distribuciones uniformes con los límites de $[a, b]$. Una prueba (o refutación!) será apreciado.

Answer 1

Podemos derivar la distribución de $Y$ analíticamente. En primer lugar, observe que es $Y|X$ que sigue una distribución uniforme, es decir,

$$f\left(y|x \right) = U(a, X) $$

and so

$$\begin{align} f(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y|x) f(x) dx & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} \frac{1}{b-a} dx \\ & = \frac{1}{b-a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \log(b-a)-\log(y-a) \right] ,\quad a<y<b \end{align}$$

which is not a uniform distribution on account of $\log(y-a)$. Here is what the simulated density looks like for a $U(0,1)$ de distribución, se superpone con lo que se calcula.

y <- runif(1000, 0, runif(1000,0,1))
hist(y, prob =T)
curve( -log(x), add = TRUE, lwd = 2)

Answer 2

Definitivamente no.

Por simplicidad, vamos a definir $a = 0, b = 1$.

Entonces

$P(Y > 0.5) = P(Y > 0.5 | X > 0.5)P(X > 0.5)$

$ < P(X< 0.5) = 0.5$

Debido a la desigualdad estricta, no es posible que $Y \sim $ Unif(0,1).