convertir techo a piso

Question

Matemáticamente, ¿por qué?

$$\left\lceil\frac{a}{b}\right\rceil= \left\lfloor\frac{a+b-1}{b}\right\rfloor$$

Suponga $a$ $b$ son enteros positivos.

Es esto también es cierto si $a$ $b$ son números reales?

Answer 1

Esto no es cierto en general, por ejemplo, $b = 1/2$ $a = 2,$ por lo que el lado izquierdo es$4$, mientras que el lado derecho es $3.$

Supongamos $b\nmid a,$ desde que el caso es trivial. Utilice el algoritmo de la división para escribir $a = qb + r,$ donde$q \in \mathbb{N}\cup \{0\}$$0 < r < b.$, Entonces la LHS es$q+1$, mientras que el lado derecho es $\lfloor (q+1) + \frac{r-1}{b} \rfloor.$ Desde $r$ es en realidad un entero, $b > r \ge 1$ rendimientos $\frac{b-1}{b} > \frac{r-1}{b} \ge 0,$ donde $\lfloor (q+1) + \frac{r-1}{b} \rfloor = q+1,$ como se desee.

Edit: se me fue un poco apresurado en dar la condición general. Aquí está corregido.

Si $b \mid a,$, entonces la LHS es$q$$r = 0,$, por lo que usted necesita $b \ge 1$ por el lado derecho también a ser $q.$ Si $b\nmid a,$ escribimos $a = qb + r,$ donde $q \in \mathbb{Z}$ $0 < r < |b|.$

Así que necesitamos a $0 \le \frac{r-1}{b} < 1.$ Si $b > 0,$ esto ocurre tanto tiempo como $r \ge 1$ (lo que significa, en particular, que $b > 1$).

Si $b < 0,$, luego tenemos a $r > 1 + b.$ Ahora, también tenemos $r < |b| = -b,$ da $-b > 1 + b,$ o $b < -1/2.$ $b \le -1,$ $r > 1+b$ tiene trivialmente, y para $-1 < b < -1/2,$ uno tiene que realmente comprobar que el $r > 1 +b.$

Answer 2

Supongamos, $b\nmid a$. Deje $\lfloor\frac{a+b-1}{b}\rfloor=n \implies nb+r=a+b-1$ donde $0\leq r<b$. Por lo $\frac{a}{b}+1=n+\frac{r+1}{b}$. Por lo $\lfloor\frac{a}{b}+1\rfloor=\lceil\frac{a}{b}\rceil=n$.

Esto no es cierto en general, como se muestra por Lyj.

Answer 3

$$\left\lceil \frac { a }{ b } \right\rceil =\frac { a }{ b } +1-\left( \frac { a }{ b } \mod\ 1 \right) ,\quad \quad (1)$$

$$\left\lfloor \frac { a+b-1 }{ b } \right\rfloor =\frac { a+b-1 }{ b } -\left( \frac { a+b-1 }{ b } \mod\ 1 \right) =\frac { a }{ b } +1-\frac { 1 }{ b } -\left( \frac { a }{ b } -\frac { 1 }{ b } \mod\ 1 \right) ,\quad \quad (2)$$

Por el bien de la simplicidad de escritura $$\left( \frac { a }{ b } \mod\ 1 \right) =k$$ Las ecuaciones $(1)$ $(2)$ son iguales: $$\frac { a }{ b } +1-k=\frac { a }{ b } +1-\frac { 1 }{ b } -k+\left( \frac { 1 }{ b } \mod\ 1 \right) $$ Finalmente, $$\frac { 1 }{ b } =\left( \frac { 1 }{ b } \mod 1 \right) .$$ For $b>1$ su demanda se mantiene.

Creo que falta algo. Hasta la próxima edición...

Answer 4

Si $\frac{a}{b}$ no es un número entero y $\frac{a}{b} > n + \frac{1}{b}$ donde $n$ es un número entero, entonces es fácil ver que $$\left\lceil\frac{a}{b}\right\rceil= \left\lfloor\frac{a}{b}+1-\frac{1}{b}\right\rfloor.$$ Si $\frac{a}{b}$ es un número entero, entonces la relación $$\left\lceil\frac{a}{b}\right\rceil= \left\lfloor\frac{a}{b} + 1 - \frac{1}{b}\right\rfloor$$ sostiene.

La única situación que causa el problema es cuando $\frac{a}{b} \in [n, n+\frac{1}{b})$ donde $n$ es un número entero.Esto no va a suceder desde $a$ es un entero positivo. Claramente, la afirmación anterior no es cierto si $a$ es real.