¿Cuáles son las posibilidades para refutar la Conjetura de Collatz?

Question

Estaba pensando en la Conjetura de Collatz ayer, y en lugar de tratar de probarla, estaba considerando qué haría que la conjetura fuera falsa. Solo se me ocurrieron dos casos:

1. Encontramos un número que comienza una secuencia que tiende hacia el infinito ($3n+1$ domina el $\frac{n}{2}$)
2. Encontramos una secuencia de números que siempre resulta en sí misma/una secuencia completamente aislada.

Supondría que la contradicción principal a buscar sería la número uno, pero ¿qué tipo de investigación se podría realizar en torno a la segunda idea? ¿Es siquiera posible la segunda idea?

¿Existen otras fallas de la Conjetura de Collatz que no he pensado?

Answer 1

En la formulación "syracuse" de la transformación de collatz $T:= a_{n+1}={3a_n+1 \over 2^{A_n}}$ en a impar donde $A_n$ es el mayor valor que mantiene a $a_{n+1}$ como entero, podemos escribir de manera elegante una fórmula para abordar el problema del ciclo.

En el siguiente ejemplo escribimos $a,b,c,...$ para $a_1,a_2,a_3,...$ y $A,B,C,...$ para $A_1,A_2,A_3,...$ entonces tenemos para la asunción del ejemplo de un ciclo de 3 pasos $$ b= {3a+1\over2^A} \qquad c= {3b+1\over2^B} \qquad a= {3c+1\over2^C} \qquad $$ y la ecuación debe cumplirse: $$ bca = \left({3a+1\over2^A}\right)\left({3b+1\over2^B}\right)\left({3c+1\over2^C}\right)$$ Reordenando obtenemos la "ecuación crítica" para el problema general del ciclo (es obvio cómo se puede extender a tantos pasos asumidos como se desee) con $S=A+B+C+...$ y $N=(número de pasos)$ $$ 2^S = \left(3+{1\over a}\right)\left(3+{1\over b}\right)\left(3+{1\over c}\right) \\ =3^N \left(1+{1\over 3a}\right)\left(1+{1\over 3b}\right)\left(1+{1\over 3c}\right) $$ Uno puede ver inmediatamente, que el S debe ser tal que una potencia perfecta de 2 sea ligeramente mayor que la potencia perfecta N de 3. Pero encontramos empíricamente, que las potencias perfectas de 2 y 3 no están muy cerca, por lo que los paréntesis deben ser grandes y por lo tanto los elementos $a_k$ del ciclo deben ser pequeños! Puedes intentar encontrar posibles $a,b,c$ para un ciclo asumido de 3 pasos que dé la ecuación crítica $$ 32 = 27 \left(1+{1\over 3a}\right)\left(1+{1\over 3b}\right)\left(1+{1\over 3c}\right) $$ y asumiendo solamente los hechos más generales, que $a,b,c$ son todos impares, distintos y no divisibles por 3. ¿Puedes refutar el ciclo de 3 pasos?

Bueno, ya que sabemos que todos los $a_k \lt 2^{50} $ no son miembros de un ciclo, las fracciones en los paréntesis son muy pequeñas y necesitamos muchos paréntesis y por lo tanto un alto N, para aumentar $3^N$ a la próxima potencia perfecta $2^S$ - mediante esta fórmula podemos deducir un límite inferior general para el número de pasos requeridos dado un límite inferior para los elementos del ciclo $a_k$.

Esta "ecuación crítica" no es suficiente para la refutación de ciclos por sí sola, porque para cualquier límite inferior de a podemos encontrar un límite inferior de N que permita al lado derecho alcanzar y "adelantar" la próxima potencia perfecta de 2. El siguiente paso de investigación posible parece ser reintroducir los requisitos modulares restantes en los subsiguientes $a_k$ . Se ha logrado un progreso real sobre la "ecuación crítica" general asumiendo ciertas estructuras en los $a_k$, principalmente la estructura de un "1-ciclo" y "m-ciclo", formas específicas simples y restringidas de ciclos asumidos, que podrían entonces ser refutadas por la característica de distancia conocida de potencias de 2 a potencias de 3, utilizando la fracción continua de $\log(3)/ \log(2)$ y la teoría de aproximación racional de formas lineales en logaritmos.
_(Ver el artículo de Wikipedia donde también enlazé a artículos disponibles en línea de John Simons y Benne de Weger. El artículo básico de Ray Steiner lamentablemente no está disponible en línea de forma gratuita - ¡es realmente una pena!)_