Dos espacios homotopy equivalente a la simpatia, adjuntando los mapas, Topología Algebraica.

Question

Tengo una pregunta respecto a la topología algebraica con la que estaba esperando que alguien me pueda ayudar con. Me las he arreglado para mostrar lo siguiente:

Si $f,g:S^{n-1} \to X$ son homotópica mapas, a continuación, $X\sqcup_fD^n$ $X\sqcup_gD^n$ son homotopy equivalente. Me mostró esto mostrando que ambos eran de la deformación se retrae de un mismo espacio, $Y=X\sqcup_F(D^n\times I)$ donde $F$ mi homotopy entre los mapas de $f$$g$.

Me siento como este resultado me pueden ayudar con la siguiente pregunta:

Deje $f:S^{n-1} \to X$ ser un mapa y $g:X \to Y$ ser un homotopy de equivalencia. Mostrar que $X\sqcup_fD^n\simeq Y\sqcup_{f\circ g}D^n$.

Podría hacer esto de forma similar a como con mi problema original. Ya que si $g$ es un homotopy equivalencia entre el$X$$Y$, esto me dice que $X\simeq Y$, por lo que son la deformación se retrae de un espacio más grande, a decir de la a a la Z.

Tendría yo entonces el espectáculo $X\sqcup_f D^n$ $Y\sqcup_{f\circ g}D^n$ son de deformación se retrae de algún espacio más grande $W=Z\sqcup_f (D^n\times I)$? Si puedo retirar $Z$ $X$ $(D^n\times I)$a $(D^n\times ${$0$}$) \cup (S^{n-1}\times I)$, es válida para mí para aplicar mi mapa de $g$ y el rendimiento que $Y\sqcup_{f\circ g}D^n$ es una deformación retirar de mi espacio más grande $W$?

Gracias de antemano.

Answer 1

Bueno, aquí está la prueba de que me tomó un tiempo para elaborar, pero creo que es correcto:

Tenga en cuenta que $(D^n,S^{n-1})$ tiene el homotopy extensión de la propiedad (HEP). El punto más importante de mi prueba es una retracción de $B\times I\times I$ a $(A\times I\times I)\ \cup\ (B\times\{0\}\times I)\ \cup\ (B\times I\times\{0\}),$ siempre $(B,A)$ tiene el HEP.
Para $(s,t)\in I\times I$ deje $s^*(s,t)=||(s,t)-d(s,t)||/||(1,1)-d(s,t)||$. Deje $r$ ser la retracción de $B\times I$ a $A\times I\ \cup\ X\times\{0\}$ con coordenadas $(r_x,r_s)$, y deje $d:I\times I\ \longrightarrow\ I\times\{0\}\ \cup\ \{0\}\times I$ ser una retracción. Ahora defina $R:B\times I\times I\ \longrightarrow\ (A\times I\times I)\ \cup\ (B\times\{0\}\times I)\ \cup\ (B\times I\times\{0\})$, $(x,s,t)\mapsto(r_x(x,s^*),\ \ d(s,t)+r_s(x,s^*)\cdot[(1,1)-d(s,t)])$. No es difícil probar que $R$ es un bien definido de la retracción.

Dos espacios son homotopy equivalente iff son fuertes deformación se retrae de un espacio mayor, y esta mayor espacio puede ser elegida para ser la asignación de cilindro $M(g)=Y\cup X\times I$ donde $(x,1)\sim g(x)$. A continuación, puede pegar $B\times I$ en forma canónica, por el mapa de $f\times\text{Id}_I$. Hay mapas de $X\times0\xleftarrow{\ \ r\ \ }M(f)\xrightarrow{g\circ p_X}Y$ donde $r$ es una deformación de retracción, lo que significa que hay un $k:M(f)\times I\to M(f),\ k(-,1)=r,\ k(-,0)=\text{Id}_{M(f)}$, un homotopy de $r$ a la identidad. El mapa de $g\circ p_X$ es una retracción homotópica a la identidad a través del mapa de $h$ tal que $h(x,s,t)=(x,t+s-ts)$.

Vamos a definir un mapa de $K:(M(f)\cup_{f\times Id} B\times I)\times I\ \longrightarrow\ M(f)\cup_{f\times Id}B\times I$ cuya restricción a $B\times I\times I$ se define de la siguiente manera: Hemos demostrado que el $B\times I\times I$ retrae a $A\times I\times I\ \cup\ B\times(\{0\}\times I\cup I\times\{0\})$ Un mapa sobre el primer término es dado por $k\circ(f\times\text{Id}_I\times\text{Id}_I)$, y uno en el segundo término por $(b,s,t)\mapsto(b,s)$. Coinciden en el dominio común, y así inducir un mapa de $K':B\times I\times I\to M(f)\cup_{f\times Id}B\times I$. Luego se combinan $K'$ $k$ sobre el cilindro para obtener el $K$. Entonces, uno puede comprobar que esto es una deformación de retracción en $X\times\{0\}\cup_{f\times 0}B\times\{0\}$.

Lo que queda es encontrar una deformación de retracción en $Y\cup_{gf}B$. Pero este puede ser incluso explícitamente por escrito, y la fórmula es prácticamente el mismo para $h$.

Answer 2

Para X y y CW complejos, la declaración de que usted está tratando de demostrar que es el Teorema 1 de la siguiente referencia: "Temas en la Combinatoria Topología Diferencial y Geometría", de Robin Forman: http://books.google.com/books?id=W_SPdwfPTw8C&pg=PA135&dq=Topics+in+Combinatorial+Differential+Topology+and+Geometry%22+by+Robin+Forman&hl=en&sa=X&ei=1BryU4LoCpPgsAT7hYGoAQ&ved=0CB4Q6AEwAA#v=onepage&q=Topics%20in%20Combinatorial%20Differential%20Topology%20and%20Geometry%22%20by%20Robin%20Forman&f=false.