Según aquí En la actualidad, existe el modelo "estándar" de la Aritmética de Peano. Se define como $0,1,2,...$ en el sentido habitual. ¿Cuál sería un ejemplo de no estándar ¿Modelo de la Aritmética de Peano? ¿Qué haría un no estándar ¿la cantidad de tiempo será como?
La aritmética de Peano es una teoría de primer orden y, por tanto, si tiene un modelo infinito -y lo tiene-, entonces tiene modelos de cualquier cardinalidad.
No sólo eso, porque tiene un modelo que es definible puntualmente (cada elemento es definible), entonces hay modelos contables no isomórficos. Lo que significa que se pueden encontrar modelos que no son el modelo estándar ya en la cardinalidad contable.
¿Cómo son estos modelos? Bueno, es un poco difícil de explicar. Todos tienen un segmento inicial que se parece a los números naturales. Eso es fácil de demostrar. Tampoco es difícil demostrar que el resto del modelo se puede descomponer en $\Bbb Z$ -cadenas. En concreto, si $c$ es un número no estándar, entonces tiene un predecesor (ya que Peano demuestra que todo elemento distinto de cero es un sucesor). Así que podemos definir $f(k)=S^k(c)$ como un isomorfismo de orden entre el "trozo" del modelo que $x$ vive en.
Más difícil de probar, pero no imposible, es que al menos para las partes contables, los modelos son todos iguales en cuanto al orden, todos tienen un segmento inicial de $\Bbb N$ , seguido de $\Bbb{Q\times Z}$ ordenados lexicográficamente.
Para producir estos modelos se pueden utilizar tres métodos estándar:
La compacidad. Añade una constante $c$ , requieren que sea mayor que cualquier numeral, por compacidad esta es una teoría consistente por lo que tiene un modelo. Este modelo no puede ser el modelo estándar, porque tiene un elemento mayor que todos los numerales.
Ultrapoderes. Llévate un ultrafiltro gratis $\mathcal U$ en $\Bbb N$ y considerar la ultrapotencia $\Bbb{N^N}/\cal U$ . Los argumentos de conteo mostrarán que esta ultrapotencia tiene cardinalidad $2^{\aleph_0}$ por lo que ciertamente no es isomorfo a $\Bbb N$ . Si lo prefiere, puede utilizar el hecho de que $\mathcal U$ no es un ultrafiltro contablemente completo, y por tanto la ultrapotencia no puede estar bien ordenada, por lo que sin comprobar la cardinalidad no puede ser isomorfa a $\Bbb N$ .
Incompleto. Sabemos que Peano no es una teoría completa. Por lo tanto, hay afirmaciones que son verdaderas en $\Bbb N$ pero Peano no lo demuestra. Por lo tanto la negación de tal afirmación es consistente con el resto de los axiomas de Peano, y debe tener un modelo. Pero este modelo no puede ser isomorfo a $\Bbb N$ . La ventaja de este método es que permite obtener teorías muy diferentes de sus modelos, mientras que los ultrapoderes y los argumentos de compacidad tienden a dar lugar a modelos elementalmente equivalentes.
Cabe mencionar que uno de los modelos no estándar más concretos de AP fue desarrollado por Skolem en la década de 1930 en ZF (sin el axioma de elección, a diferencia de las construcciones mencionadas en el otro responder ). Esto es aproximadamente en términos de funciones definibles en $\mathbb N$ ordenados por su crecimiento asintótico; para más detalles, véase esta publicación de 2013 en Fundamentos de la ciencia , sección 3.2, página 272.
Esta es una nota histórica a pie de página de la agradable respuesta aceptada anteriormente. Más precisamente, el método en el cuadro amarillo en
parece estar ya insinuado en la reseña de Kurt Gödel en Zentralblatt, Band 7, Heft 5, de
Sobre la imposibilidad de una caracterización completa de las series numéricas mediante un sistema de axiomas finito. Norsk Mat. Forenings Skr, II Ser. No.1/12, 73-82 (1933).
Estrictamente hablando, Gödel no da un argumento en la reseña, sólo dice que el resultado de Skolem se deduce fácilmente de su propio artículo sobre el teorema de incompletitud; aquí está la reseña de Gödel del artículo de Skolem, con la insinuación de Gödel resaltada en naranja (la parte derecha es mi traducción):
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Lamentablemente, es bastante difícil señalar o describir un modelo no estándar, debido a Teorema de Tennenbaum : ningún modelo contable no estándar de la aritmética de Peano (PA) puede ser recursivo. Más aún: el $+$ y $\times$ las operaciones no pueden ser recursivas. Así que... puedes ver por qué tu pregunta es muy desafiante. Una cantidad de tiempo no estándar sería... muy larga: infinitamente larga, ya que viene después de cada número finito de unidades de tiempo $0, 1, 2, ... 17, ... 10^{10}, ... $ .
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No estoy seguro de estar de acuerdo con el duplicado aquí. Una cosa es preguntar por una extensión elemental contable, y otra preguntar por modelos no estándar en general. Creo que son suficientemente diferentes, como lo atestiguan las respuestas tan distintas.
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"¿Cómo sería una cantidad de tiempo no estándar?" depende de qué modelo no estándar. Si es elementalmente equivalente al modelo estándar, ni siquiera lo notarás. Si no, podrían pasar todo tipo de cosas locas, como que demostraras que la AP es inconsistente o algo así.