Trigonométricas Sustitución

Question

Estoy teniendo problemas con este problema aunque todo lo que yo hice parecía correcto para mí desde que nos fuimos por una similar en mi clase. He utilizado el método de configuración de un triángulo, mi hipotenusa es $\sqrt{54+9x^2}$ y a mis lados se $\sqrt{54}$$3x$. Llegué $\tan(t)=3x/\sqrt{54}$, por lo que

$$x=\sqrt{54} \tan(t) \frac{1}{3}$$

que la izquierda

$$\sec(t) = \frac{\sqrt{54+9x^2}}{\frac{\sqrt{54}}{3}}$$

y, a continuación,

$$\frac{\sqrt{54}}{3} \sec(t) = \sqrt{54+9x^2}.$$

Esto me dejó con un simplificado $6 \int \sec^3(t) \, dt$. Después de usar la fórmula de reducción mi respuesta fue

$$3 \tan(t) \sec(t) +3 \ln |\sec(t) + \tan(t)| +C$$

y luego he conectado de nuevo con mi $x$ valores. Si alguien puede ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Lo siento, no he entendido tu pregunta la ronda por primera vez.

En primer lugar, me estoy poniendo

$$9 \sec \theta \tan \theta + 9 \ln | \sec \theta + \tan \theta | + C $$

como mi intermedio de respuesta. Desde allí, usted necesita para sacar todas las thetas y poner en $x$. A partir de lo que has escrito, estoy asumiendo que usted a ver cómo conseguimos $\tan \theta = x / \sqrt{6}$$\sec \theta = \sqrt{(x^2 + 6) / 6}$. (Si no, hágamelo saber.) Por lo tanto, podemos reescribir la expresión anterior como

$$ \\ 9 \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 6}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{x}{\sqrt{6}} + 9 \ln \left| \frac{\sqrt{x^2 + 6}}{\sqrt{6}} + \frac{x}{\sqrt{6}} \right| + C = \frac{3}{2}x\sqrt{x^2 + 6} + 9 \ln \left| \frac{\sqrt{x^2 + 6} + x}{\sqrt{6}} \right| + C \ $$

Un montón de veces con estos tipos de integrales el truco es con el $\ln$. Recuerde que $\ln A / B = \ln A - \ln B$; esto nos permite simplificar la expresión así:

$$\frac{3}{2}x\sqrt{x^2 + 6} + 9 \ln \left| \sqrt{x^2 + 6} + x \right| + C$$

Haciendo esto siempre parece extraño para mí, pero $-9 \ln \sqrt{6}$ es una constante, después de todo...