Suma infinita de los números de Fibonacci recíprocamente desplazados

Question

He encontrado en Wikipedia la siguiente suma infinita :

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{1+F_{2k+1}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$$

No hay ninguna referencia para esta suma en el articulo y no he podido encontrarla en ningun otro sitio .no tengo ni idea de como probarlo por eso pido ayuda .

Gracias por su tiempo para ayudarme.

Answer 1

Podemos utilizar Binet fórmula para $F_{2k+1}$ :- $$F_{2k+1}=\frac{\phi^{2k+1}-(-\phi)^{-(2k+1)}}{\sqrt{5}}$$ donde $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

La suma (tras sustituir $F_{2k+1}$ y descomposición de fracciones parciales) se convierte en una suma telescópica $$\begin{align}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{1+F_{2k+1}}&=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sqrt{5}\phi^{2k+1}}{\sqrt{5}\phi^{2k+1}+\phi^{4k+2}+1}\\&=\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{\sqrt{5}(1+\sqrt{5})}{2\phi^{2k+1}+\sqrt{5}+1}-\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}{2\phi^{2k+1}+\sqrt{5}-1}\right)\\&=\frac{\sqrt{5}}{2}-x_1+x_1-x_2+x_2+\cdots+\lim_{k\rightarrow\infty} x_k\\&=\frac{\sqrt{5}}{2}\end{align}$$ donde $$x_1=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}{2\phi^{1}+\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}(1+\sqrt{5})}{2\phi^{3}+\sqrt{5}+1},x_2=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}{2\phi^{3}+\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}(1+\sqrt{5})}{2\phi^{5}+\sqrt{5}+1},\cdots$$ y $\lim_{k\rightarrow\infty} x_k=0$ .