Artin motivos, Referencias.

Question

Puedo encontrar la siguiente descripción de Artin motivos en Wikipedia. Ya que estos parecen estar muy relacionados con la teoría de los números, estoy interesado en aprender más en ese contexto. Yo solicitud de los expertos disponibles en MO que me proporcionan una referencia que puede ser más útil para mí que esta breve descripción. Los comentarios y explicaciones también será útil. Me disculpo por hacer una aparentemente pregunta básica; pero me resulta imposible vadear a través de las numerosas referencias disponibles sobre los motivos.

Arreglar un campo de $k$ y considerar el functor finito extensiones separables $K$ $k$ → finito de conjuntos con un (continua) la acción de la absoluta Galois grupo de $k$ que los mapas de $K$ el (finito) conjunto de incrustaciones de $K$ en una clausura algebraica de $k$. En la teoría de Galois este functor se muestra una equivalencia de categorías. Observe que los campos se $0$-dimensional. Los motivos de este tipo son llamados Artin motivos. Por $\mathbb Q$-alinear los objetos anteriores, otra forma de expresar lo anterior es para decir que Artin motivos son equivalentes a lo finito $\mathbb Q$-espacios vectoriales, junto con una acción del grupo de Galois.

Tengo algo de idea de lo que son motivos puros y mixtos de motivos, en el contexto de variedades algebraicas. Lo que tiene en mente es entender la declaración moderna de equivariant Tamagawa número de conjeturas. Esta parece ser la más simple de ejemplo a tener en cuenta, que si sigo adelante.

Answer 1

Un motivo es un fragmento de una variedad corta por las correspondencias. (Si te gusta, es algo que podemos tomar cohomology.)

Artin motivos son lo que se obtiene mediante la restricción a cero-dimensional variedades. Si el suelo campo algebraicamente cerrado, a continuación, cero-dimensional variedades son simplemente finito sindicatos de puntos, así que no hay mucho que decir; el único invariante es el número de puntos.

Pero si el campo de tierra $K$ no es algebraicamente cerrado (pero es perfecto, por ejemplo, char $0$, por lo que podemos describir todos finito extensiones de Galois theory), entonces hay muchos muy interesante, $0$- dimensiones motivos, y, de hecho, la categoría de Artin motivos (con los coeficientes en un campo de $F$ de los característicos $0$, digamos) es igual a la categoría de continuo representaciones de $Gal(\overline{K}/K)$ $F$- espacios vectoriales (donde el $F$-espacios vectoriales son dadas sus discretos topoogy; en otras palabras, la representación deberá factor a través de $Gal(E/K)$ para algunos finito extensión de $E$$K$).

Tal vez desde una perspectiva geométrica, estos motivos parecen menos interesantes que otros. Por otro lado, el número teóricamente, son muy difíciles de entender. La conjetura de Artin acerca de la holomorphicity de $L$-funciones de Artin motivos, que es la base de la reciprocidad conjetura en cuanto tales motivos, sigue siendo muy amplio y abierto, con muy pocos los que no abelian de los casos conocidos. (Por supuesto, para representaciones con abelian imagen, estos conjeturas sobre la cantidad de campo de la clase de teoría, que ya es bastante no-trivial.)

Answer 2

André libro es la referencia principal para el "yoga" de los motivos. Usted encontrará una descripción de Artin motivos en la Voevodsky formalismo en

Beilinson y Vologodsky - http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0832/

Wildehaus - http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0918/

Desde el tannakian punto de vista, Artin motivos son sólo una representación de la habitual grupo de Galois. Así que, como motivos, Artin motivos no son interesantes. Es habitual que se Galois, teoría de campos.