Es este un título de nivel de prueba de conservación de la energía, o una arbitraria manipulación de símbolos que sucede a dar la respuesta correcta?

Question

Esto es un poco absurda la pregunta, para que me perdone.

De pregrado tutee de la mina se enfrentó con el siguiente problema:

P. ¿Una partícula de masa $m$ que se mueve a lo largo de una línea está sujeta a una fuerza de $F(x) = −dV /dx.$ Muestran que la energía $E =\frac{1}{2}mv^2+V(x)$ es constante.

Aquí está su respuesta.

A. Nos ha dado $F(x)=-dV/dx.$$F=ma$, lo $m\ddot{x}=-dV/dx .$

El próximo observar $\ddot{x}=\frac{d\dot{x}}{dt}=\frac{d\dot{x}}{dx}\frac{dx}{dt}=\frac{d\dot{x}}{dx}\dot{x}$.

Por lo tanto $m\dot{x}\frac{d\dot{x}}{dx} = -dV/dx$, y la integración de wrt $x$ obtenemos $\frac12m\dot{x}^2 + V(x)=C$ una constante.

Es que es una prueba? En algún nivel formal se ve bien para mí. Sin embargo, al aplicar un matemático amigo mío (soy un puro mathematiaian) objetó que la UG sólo había demostrado que la energía es constante, independiente de $x$, más que independiente de $t$. No tengo idea de lo que significa incluso, en algún nivel. Por otro lado, mientras que yo estoy completamente feliz con los aspectos formales de la argumentación, tengo la incómoda sensación de que si me fueron presionados para definir $\frac{d\dot{x}}{dx}$ me iría a por algo así como "cambio en $\dot{x}$ dividido por el cambio en la $x$ y, a continuación, tomar el límite", y si luego alguien se observa que, si la partícula se estacionario y $V$ fueron constantes, a continuación, $x$ realidad no iba a cambiar por tanto, ¿qué significa cambiarla, creo que estaría empezando a sentirse incómodo. La línea de fondo fue que el marcador no les gusta, porque decían que algo como $d(\dot{x})/dx$ no tenía sentido, y no le doy ninguna de las marcas. Quiero argumentar que generalmente es significativo, pero por otro lado...¿qué estoy diciendo aquí. Creo que lo que estoy diciendo es que una parte de mí quiere recurrir al argumento de que la prueba se supone que la aplicación de algunos de espacio de los potenciales de $V$, que se supone que son, al menos, continuo, de modo que tal vez se podría intentar poner algo más de estructura en el espacio de todos los potenciales (por ejemplo, restringir a $x$ en algunos cerrado y acotado intervalo y poner un poco de $L^2$ norma, o algo asi) y las posibilidades de que el argumento parece un poco vago son algunos pequeños subconjunto de este espacio y, entonces, por la continuidad que debe estar bien. En el otro lado de este incidente, simplemente trae inundaciones de nuevo todos los recuerdos de las luchas que he tenido haciendo matemáticas aplicadas cuando yo era un estudiante de mí, cuando yo le acabo de probar y responder a las preguntas por formalmente la manipulación de los símbolos y con la esperanza de que lo que hacía iba a ser comprado por el pueblo marcado de las preguntas.

Presumiblemente hay personas que tienen un nivel suficientemente rigurosa forma de pensar acerca de este tipo de pregunta que se les puede decir a ciencia cierta si este argumento realmente merece ninguna de las marcas? Es realmente un argumento de que "no es muy riguroso, pero puede ser rigurosa utilizando una técnica estándar"? O está bien? O, el cielo forfend, es una pregunta para la que diferentes personas pueden tener diferentes opiniones??

Answer 1

Sé que esta pregunta es un poco viejo(pero podrían ser útiles más adelante), pero una prueba de que he utilizado, mientras que la finalización de mi carrera en el departamento de física fue 1) se multiplican ambos lados por la velocidad $$ m\ddot{x}\dot{x}=-\frac{dV}{dx}\dot{x} $$

A continuación, tire hacia fuera el tiempo de derivados para producir

$$ \frac{d}{dt}\frac{m\dot{x}^2}{2}=-\frac{dV}{dt} $$ El lado derecho es simplemente la inversa de la regla de la cadena. Tirar todo a la mano izquierda, y subbing en v de la velocidad nos encontramos

$$ \frac{d}{dt}\left[\frac{mv^2}{2}+V(x)\right]=0 $$

Esto lleva a la conclusión de que la energía en el sistema(cinética + potencial) I. e los términos entre paréntesis son independientes del tiempo y, por tanto, constante o conservador.

También puede utilizar este truco en la solución de los lineales de péndulo problema.

Answer 2

Esta prueba parece válida para mí. La justificación de $\ddot{x} = \dot{x} \tfrac{d\dot{x}}{dx}$ a través de la regla de la cadena es aceptable matemáticamente, y aunque las ecuaciones involucradas se supone que tienen significado físico, no hay necesidad de explicar lo $\tfrac{d\dot{x}}{dx}$ medios. A partir de un nivel físico, lo que hemos demostrado es que el Trabajo, que se define como el cambio en la energía cinética, se puede expresar como $$ W = \Delta K = \int F \, dx$$ Entonces, desde el $F = -dV/dx$, luego tenemos precisamente demostrado que $\Delta K = - \Delta V$, por lo que la energía mecánica total $K + V$ es constante.

Respecto de la discusión anterior: Mientras que el anterior formalmente las obras, el principal problema es que $\tfrac{d\dot{x}}{dx}$ puede no estar bien definida. El quid del problema es que la cantidad $$W = \int m\ddot{x} \, dx(t)$$ de hecho, es una integral de línea a lo largo de la ruta de acceso de $x(t)$. Si $t_0$ $t_{k+1}$ son el inicial y el final de los tiempos, y $t_1, \ldots, t_k$ son tiempos en $\dot{x}$ cambia de signo, entonces podemos girar el anterior en una suma de ordinario integrales contra un Stieltjes medida (por ejemplo, la variable que estamos integrando en contra es monótona), y así tenemos $$ W = \sum_{i=0}^k \int_{t_i}^{t_{i+1}} m \ddot{x} \, dx = \sum_{i=0}^k \int_{t_i}^{t_{i+1}} m \ddot{x} \frac{dx}{dt} \, dt = \int_{t_i}^{t_{i+1}} \frac{1}{2} m\frac{d}{dt} \left[\dot{x}^2 \right]\, dt = \Delta \left( \frac{1}{2} m \dot{x}^2\right)$$

Answer 3

El marcador fue absolutamente erróneo afirmar que $\frac{d \dot{x}}{dx}$ es de sentido! Es el espacio de la tasa de cambio de la velocidad, que está perfectamente bien definido el concepto. Si la velocidad no cambia en absoluto, a continuación, $\frac{d\dot{x}}{dx}$ 0, para que esto sea cierto, entonces no hay fuerzas sobre la partícula para acelerar así el gradiente de potencial también debe ser cero (por lo que el potencial debe ser constante a través del espacio). La ecuación del gradiente de potencial que el estudiante derivada es correcta y la integración wrt x es perfectamente válido para este unidimensional problema, y demuestra que la conservación de la energía de una partícula que se mueve a través del espacio. Puesto que la energía de las partículas se conserva en cada espacio el punto de que llega, además, la energía debe ser conservado a través del tiempo.

En el problema del movimiento en más de una dimensión, la integración wrt las dimensiones del espacio, tiene poco sentido-creo que esto es por qué alguna gente piensa que el estudiante estaba equivocada en su enfoque.

Por ejemplo considere la posibilidad de movimiento en 2 dimensiones: Si tenemos un potencial V(x,y), entonces la fuerza de $F_x$ en la dirección x es $$F_x= - \frac{\partial{V(x,y)}}{\partial{x}}.$$ Similarly for the y direction and $$dV = \frac{\partial{V}}{\partial{x}} dx + \frac{\partial{V}}{\partial{y}} dy .$$ so $$- \frac{d{V}}{d{t}}= m (\frac{d^2x}{dt^2}.\frac{dx}{dt} + \frac{d^2y}{dt^2}.\frac{dy}{dt})= m(v_x \frac{dv_x}{dt}+v_y \frac{dv_y}{dt}) .$$ So integrate wrt time gives $$-V(x.y)=\frac{mv_x^2}{2}+\frac{mv_y^2}{2} + const.$$ Para (Total KE + PE) = constante en el tiempo. También es constante en cada punto en el espacio a lo largo de la ruta de acceso de la moción.