Desde el Evans'PDE libro aprendí $W^{1,\infty}(U)$ coinciden con Lipschitz continua $C^{0,1}(U)$ $U\in\Bbb{R}^n(n\geqslant1)$ es limitado y $\partial U\in C^1$. Me pregunto si la contraparte resultado para $U$ es ilimitado, por ejemplo,$U=\Bbb{R}_+^n$(la mitad de espacio). Más precisamente,
1)Cómo demostrar a $W^{1,\infty}(\Bbb{R}_+^1)=C^{0,1}(\Bbb{R}_+^1)$(no estoy seguro de que la declaración debe ser a la derecha);
2)Cómo demostrar a $n\geqslant 2,W^{1,\infty}(\Bbb{R}_+^n)\hookrightarrow C^{0,\alpha}(\Bbb{R}_+^n),\forall 0<\alpha<1$;
3)por Favor proporcione un contraejemplo para demostrar que $n\geqslant 2,W^{1,\infty}(\Bbb{R}_+^n)\nsubseteq C^{0,1}(\Bbb{R}_+^n)$.
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