Localmente integrable funciones

Question

Formulación:

Deje $v\in L^1_\text{loc}(\mathbb{R}^3)$ $f \in H^1(\mathbb{R}^3)$ tal que \begin{equation} \int f^2 v_+ = \int f^2 v_- = +\infty. \end{equation} Aquí, $v_- = \max(0,-f)$, $v_+ = \max(0,f)$, es decir, el negativo y positivo partes de $v=v_+ - v_-$, respectivamente.

Pregunta: ¿$g\in H^1(\mathbb{R}^3)$ existen, de tal manera que \begin{equation} \int g^2 v_+ < \infty, \quad \int g^2 v_- = +\infty \quad ? \end{equation}

Algunas ideas:

Deje $S_\pm$ ser los soportes de $v_\pm$, respectivamente.

Uno puede encontrar fácilmente $g\in L^2$ de manera tal que la última ecuación tiene, simplemente multiplique $f$ con la función característica de a $S_-$. La intuitiva, es entonces por algunos de suavizado de esta función por un mollifier, o mediante un golpe función de la fuerza con el apoyo de $g$$S_+$.

Sin embargo, los apoyos de $S_\pm$ puede ser bastante complicado: por ejemplo, la grasa de Cantor-al igual que los conjuntos. Por lo tanto, una protuberancia de la función técnica o un mollifier puede "accidentalmente" rellenar cualquiera de $S_\pm$.

Mi motivación:

El problema viene de mi investigación original sobre los fundamentos matemáticos de la Teoría Funcional de la Densidad (DFT) en la física y la química. Aquí, $f^2$ es proporcional a la densidad de probabilidad de encontrar un electrón en un espacio de punto, y $v$ es la energía potencial en el campo de la environmentn. $\int f^2 v$ es el total de la energía potencial para el estado del sistema. El original de la $f$ le da un sentido "$\infty-\infty$" resultado, pero por ciertas razones, estamos fuera de peligro si hay algo de $other$ densidad de $g$ la prescripción de la propiedad.

Editar:

Eliminado afirmación de que $S_\pm$ debe ser ilimitado. Esto no se sigue de las suposiciones.

Answer 1

El problema es, por supuesto, que $v_+$ $v_-$ puede estar estrechamente relacionados. Considere la posibilidad de un cubo de $Q$ con sidelength $2a$ peso $v_Q$ tal que $v_Q=1$ en su mitad superior, $-1$ en su mitad inferior, y $0$ en todas las demás. Entonces, aplicando la desigualdad $-|F(x)|^2+|F(x+a)|^2\ge -(|F(x)|+|F(x+a|)(\int_x^{x+a}|F'|)\le -\delta(|F(x)|^2+|F(x+a|^2)-\delta^{-1}a\int_{x}^{x+a}|F'|^2$ a lo largo de cada línea vertical y la integración de más de la mitad inferior, obtenemos $$ \int |g|^2 v_Q\ge -\delta \int_Q |g|^2-\delta^{-1}^2\int_Q|\nabla g|^2. $$ La elección de $\delta=a$, obtenemos $$ \int |g|^2 v_Q\ge - \left[\int_Q |g|^2+\int_Q|\nabla g|^2\right]. $$ mientras que $\int|v|=8a^3$. Ahora se acaba de considerar una familia de unidades de cubos disjuntos $P_i$ alicatado con cubos $Q_{ij}$ de sidelength $2a_j\to 0$ y poner $v=\sum U_i v_{Q_{ij}}$$U_j>0$. Para asegurarse de que no existe $f\in H^1$$\int f^2v_+=\int f^2 v_-=+\infty$, es suficiente para la demanda de $U_j\to\infty$ (a continuación, usted puede construir su $f$ $\sum_i c_i f_i$ donde $f_i$ es un tamaño de la unidad de golpe apoyado en $P_j$ y $\sum_i c_i^2<+\infty$, $\sum_i U_i c_i^2=+\infty$). Por otro lado, para evitar el infinito disbalance entre el $\int g^2 v_\pm$, es suficiente para pedir que $U_ja_j$ es un almacén de secuencia. Estas dos condiciones son perfectamente compatibles, por lo que, por desgracia, no puede hacer lo que quiera sin algún extra supuestos.

Answer 2

Al$v \in L^1_{loc}(\mathbb{R}^3)$, $v$ es la densidad de un absolutamente continuas firmado medida $\mu$. Tomar un Hahn descomposición de $\mathbb{R}^3$ en dos conjuntos medibles, por lo que el $\mathbb{R}^3$ es distinto de la unión de decir $P$ y $N$, $P$ es positivo para $\mu$ $N$ es negativo para $\mu$, definido como: $\mu$ es no negativo en subconjuntos medibles de $P$ y no positivos medibles sobre los subconjuntos de a $N$. Esto le da un Jordania descomposición en medidas de $\mu^+$$\mu^-$, se concentró en $P$ $N$ respectivos. Ahora $\mu^+$ sobre un conjunto medible $A$ $\int_A v_+$ $\mu_-$ sobre un conjunto medible $A$$\int_A v_-$. Al$f \in H(\mathbb{R}^3) = L^2(R^3)$$\int f^2 v_+ = \infty $$ \int f^2 v_- = \infty$, luego $f \,1_N \in L^2(\mathbb{R}^3)$, $\int f^2\,1_N v_- = \infty $ y $\int (f \, 1_N)^2 v_+ = \int f^2 \, 1_N v_+ = 0$. La no-muestra las medidas en las integrales es la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^3$.