Un ejercicio de infinita combinatoria de Burris y Sankappanavar

Question

Ejercicio 6.7 en el capítulo IV de Burris y Sankappanavar de Un Curso de Álgebra Universal comienza de la siguiente manera:

Mostrar que para $I$ countably infinito no es un subconjunto $S$ del conjunto de funciones de $I$ $2$que tiene cardinalidad igual a la de la continuidad, de forma tal que por $f \not= g$ con $f,g \in S$, $\{i \in I : f(i) = g(i)\}$ es finito.

No veo la manera de $S$ puede tener cardinalidad de más de 2: deje $f, g, h \in S$, $f \not= g$ $f \not= h$ y deje $A = \{i \in I : f(i) = g(i)\}$$B = \{i \in I : f(i) = h(i)\}$. Para $i$ $I\backslash (A \cup B)$ tenemos $g(i) \not= f(i) \not= h(i)$, de donde $g(i) = h(i)$, ya que el $f(i), g(i), h(i) \in 2 = \{0, 1\}$. Pero $A$ $B$ son finitos, $I \backslash(A\cup B)$ es infinito. Por lo $g(i) = h(i)$ mantiene para infinidad de $i$, y debemos tener $g = h$.

¿En qué he faltado? (Una redefinición de 2, tal vez?)

Yo también estaría agradecido por una referencia para lo que parece ser la meta de este ejercicio, es decir, utilizar un ultraproduct de la construcción, para obtener innumerables modelos de contables.

Answer 1

En el sitio web del libro hay una versión más reciente y - como el OP ya señaló en su comentario el ejercicio ya está corregido (véase la página 150). Dice:

Muestran que, para $I$ countably infinito y $A$ infinito, existe un subconjunto $S$ del conjunto de funciones de $I$ $A$que tiene cardinalidad igual a la de la serie continua tal que para $f\ne g$ con $f,g\in S$, $\{i\in I; f(i)=g(i)\}$ es finito. A la conclusión de que $|A^I/U|\ge 2^\omega$ si $U$ es un nonprincipal ultrafilter $I$.

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La pregunta básicamente se reduce a encontrar a esa familia de funciones de una infinita contable ajustado a infinito contable establecido. (Desde $A$ es infinito, que contiene un infinito contable.)$\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$

Así que podemos aprovechar $I=\N$ $A$ puede ser arbitraria infinito contable establecido.

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Para $A=\Q$ podemos repetir básicamente el mismo truco que el truco que se utiliza para mostrar la existencia de una casi la desunión de la familia de cardinalidad $\mathfrak c$. Véase, por ejemplo, aquí o aquí.

Para cualquier número real $r\in\R$ tomamos cualquier inyectiva secuencia $f_r \colon \N \to \Q$ de los números racionales, que converge a $r$. El sistema de $\{f_r; r\in\R\}$ tiene la misma cardinalidad como $r$. Y para cualquier $r\ne r'$ el conjunto $\{i\in\N; f_r(i)=f_{r'}(i)\}$ es finito, ya que estos dos secuencias tienen diferentes límites.

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Un enfoque diferente, que sólo demuestra que hay una cantidad no numerable de tales funciones.

Lema: Si $\{f_n; n\in\N\}$ es una secuencia de funciones de$\N$$\N$, entonces existe una función de $f$ de tal manera que cada conjunto de $A_n=\{i\in\N; f(i)=f_n(i)\}$ es finito.

Prueba. Podemos definir $$f(n)=\max\{f_i(j); i=0,\dots,n-1; j=0,\dots,n-1\}+1.$$ Luego tenemos a $\{i\in\N; f_n(i)=f(i)\}\subseteq\{0,1,\dots,n\}$. $\qquad\square$

Usando el hecho y la inducción transfinita podemos obtener una familia de funciones con cardinalidad $\aleph_1$, que tiene las propiedades requeridas.