¿Y existe una prueba/desafío fuera de la intuición? Aquí ignoramos la estructura del reloj y suponemos que las agujas se mueven con velocidad constante.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Dejemos que $\theta$ sea el ángulo de la aguja de las horas más allá de las 12. Entonces el ángulo de la manecilla de los minutos es $12\theta$ y el ángulo del segundero es $720\theta$ .
Si la esfera del reloj se va a dividir en tres partes iguales, necesitamos que el ángulo entre dos agujas sea $\frac{2\pi}{3}$ para dos manos cualesquiera. Por lo tanto, $$720\theta - 12\theta \equiv 12\theta - \theta \equiv \theta-720\theta \equiv \pm\frac{2\pi}{3} \pmod {2\pi}$$ o, calculando un poco, $$708\theta \equiv 11\theta \equiv -719\theta \equiv \pm\frac{2\pi}{3}\pmod {2\pi}.$$ De ello se desprende inmediatamente que $708\theta-11\theta =697\theta\equiv 0 \pmod {2\pi}$ así como $11\theta-(-719)\theta = 730\theta \equiv 0\pmod {2\pi}$ . Así, $\gcd(730\theta,697\theta)=\theta\equiv 0\pmod {2\pi}$ , lo que no es una solución adecuada.
Por lo tanto, no existe la configuración de las agujas de un reloj que requiere su problema.
GmonC
Puntos
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En un periodo de 12 horas, que tomaré como unidad de tiempo, las agujas empiezan y terminan alineadas. La aguja de los minutos supera a la de las horas $11$ veces durante este periodo, y el segundero lo hace $12\times60-1=719$ tiempos; estos dan sus velocidades relativas con respecto a la manecilla de las horas en revoluciones por unidad de tiempo. Obsérvese que $11$ y $719$ son relativamente primos, lo que significa que no hay ningún momento intermedio en el tiempo $0<t<1$ en la que las manos están las tres alineadas: esto significaría $a=11t$ y $b=719t$ son números enteros, por lo que $719a=11b$ es un múltiplo común de $11$ y $719$ por lo tanto, un múltiplo de $\operatorname{lcm}(11,719)=11\times719$ que obligaría a $t$ sea un número entero (pero no lo es).
Ahora bien, si $t$ es un momento en el que las posiciones relativas de todas las manos son todas múltiplos de $\frac13$ de una revolución, entonces por la uniformidad de su movimiento se alinearán de nuevo en el tiempo $3t$ . Por lo que acabamos de ver esto significa que $t$ es un múltiplo de $\frac13$ unidad de tiempo. Pero con la unidad de tiempo de 12 horas, $\frac13$ unidad de tiempo es precisamente $4$ horas, en las que se alinean las agujas de los minutos y los segundos. Así que nunca ocurre que las agujas estén precisamente en posiciones relativas $0,\frac13,\frac23$ de una revolución.
