¿Qué es tan especial acerca de los números primos $x^2+27y^2 = 31,43, 109, 157,\dots$ para cúbicas?

Question

Tratando de encontrar una forma cerrada solución particular cúbicas como la suma de los cosenos (relativa a esta cuestión), me encontré con esta familia con todas las raíces reales,

$$F(x) = x^3+x^2-mx+N = \Big(x-2\sum_{k=1}^{m/2}\cos\Big) \Big(x-2\sum_{k=1}^{m/2}\cos b\Big) \Big(x-2\sum_{k=1}^{m/2}\cos c\Big)=0$$

donde,

$$a,\;b,\;c = \frac{2^k\cdot2\pi}{p},\;\frac{2^k\cdot6\pi}{p},\;\frac{2^k\cdot m\,\pi}{p}$$

de tal manera que, para ciertos números primos $p=3m+1$, $N$ es un número entero. La lista completa de pequeño $p$,

$$\begin{array}{|c|c|} p&N\\ 31& -8\\ 43& 8\\ 109& -4\\ 157& 64\\ 223& -256\\ 229& -212\\ 277& 236\\ 283& 304\\ \end{array}$$

Preguntas:

1. ¿Cuál es la lista completa de tales primos de una baja obligada, decir $p<3000$? (Mi vieja versión de Mathematica deja de funcionar en $p>2000$.)
2. ¿Qué hacen estos primos $p$ tienen en común que los hacen diferentes de los otros números primos? (Que a su $N$ es un número entero.)
3. Los coeficientes de la cúbico $F(x)=0$ son simples polinomios en $m$, excepto el término constante. Puede $N$ ser expresado como un polinomio en $m$?

P. S. he comprobado la OEIS y no lo hay, pero la lista que tengo para $p<2000$ sugiere que es necesario (pero no suficiente) la condición es que

$$p = x^2+27y^2,\quad\text{and}\quad 2^m = 1\;\text{mod}\;p$$

(A014752) y (A016108), aunque sería genial si alguien puede demostrar (o refutar) que si $N$ es un número entero, entonces estos deben tener.

Answer 1

Pregunta 1 fue contestado por Pedro Kosinar en los comentarios, y una versión general de la Pregunta 2 fue contestado por Michael Stoll en este MO post.

El caso general de la Pregunta 3 es en este post.

P. S. Una cosa buena acerca de estos cúbicas es que, comenzando con Ramanujan del general cúbicos de identidad, son un caso especial, dando lugar a la simple,

$$(a+b\,x_1)^{1/3}+(a+b\,x_2)^{1/3}+(a+b\,x_3)^{1/3}=\big(c+\sqrt[3]{dp}\big)^{1/3}$$

para algunos racional $a,b,c,d$. Por ejemplo, el uso de $p=109$, lo $x^3 + x^2 - 36x - 4=0$, entonces,

$$(2+x_1)^{1/3}+(2+x_2)^{1/3}+(2+x_3)^{1/3}=\big({-19}+\sqrt[3]{4\cdot109}\big)^{1/3}=1.553389\dots$$