Mostrar todas las raíces de $\sum_{k=0}^n 2^{k(n-k)} x^k$ son reales (problema de Putnam del 6 de diciembre de 2014)

Question

Demuestre que para cada entero positivo n, todas las raíces del polinomio $\sum_{k=0}^n 2^{k(n-k)} x^k$ son números reales.

No tengo ni idea de por dónde empezar.

Del Putnam de este año, problema B4.

Answer 1

Definamos

$$ p_n(x) = \sum_{k=0}^n 2^{k(n-k)} x^k. $$

Como todos sus coeficientes son positivos, todas las raíces de $p_n(x)$ debe ser negativo. Empezaré con algunas heurísticas para tratar de explicar las sustituciones que haremos antes de demostrar realmente el resultado.

Observamos que $p_n(x/2^n)$ converge de forma compacta a una función entera como $n \to \infty$ por lo que suponiendo que la función límite tiene al menos una raíz esperamos que la raíz más pequeña de $p_n(x/2^n)$ converge a una constante. Es decir, esperamos que la raíz más pequeña de $p_n(x)$ para comportarse como $c2^{-n}$ .

También calculamos

$$ p_n(-2^{n+2}) = (-1)^n 2^{n^2} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k 2^{-k^2} $$

y observar que $\DeclareMathOperator{sign}{\operatorname{sign}}\sign p_n(-2^{n+2}) = (-1)^n$ , lo que es coherente con que la raíz más grande sea mayor que $-2^{n+2}$ .

Así que suponemos que todas las raíces de $p_n(x)$ satisfacer

$$ -c_1 2^n < x < -c_2 2^{-n}, $$

y esto nos motiva a hacer la sustitución $x = -2^y$ . Por lo tanto, nos interesa la función

$$ q_n(y) = p_n(-2^y) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k 2^{k(y+n-k)}. $$

Para demostrar que todas las raíces son reales mostraremos que la cantidad $q_n(2m-n)$ , $m=0,1,\ldots,n$ , cambia de signo para cada $m$ .

Primero reordenamos un poco las cosas para conseguir

$$ q_n(2m-n) = (-1)^m 2^{m^2} \sum_{j=-m}^{n-m} (-1)^j 2^{-j^2}, $$

y demostraremos que

$$ r_n(m) = \sum_{j=-m}^{n-m} (-1)^j 2^{-j^2} $$

es siempre positivo. Nótese que $r_n(m) = r_n(n-m)$ , por lo que sólo tenemos que comprobar todos los $m$ en el intervalo $0 \leq m \leq n/2$ .

Si $m=0$ entonces esto está claro. Si $m=1$ entonces tenemos

$$ r_n(1) = \sum_{j=2}^{n-1} (-1)^j 2^{-j^2} > 0 $$

también. Si $2 \leq m \leq n/2$ y $n \geq 4$ entonces

$$ r_n(m) = \frac{1}{8} + \sum_{\substack{-m\leq j\leq n-m \\ |j| > 2}} (-1)^j 2^{-j^2}, $$

y

$$ \begin{align} \left|\sum_{\substack{-m\leq j\leq n-m \\ |j| > 2}} (-1)^j 2^{-j^2}\right| &< 2\sum_{j=3}^{\infty} 2^{-k^2} \\ &< 2 \sum_{j=3}^{\infty} 2^{-3k} \\ &= \frac{1}{244}, \end{align} $$

Así que, en efecto $r_n(m) > 0$ , según se desee.

Sólo queda comprobar los casos $n=1,2,3$ . De hecho, los polinomios son

$$ p_1(x) = 1+x, \\ p_2(x) = (1+x)^2, \\ p_3(x) = (1+x)(1+3x+x^2), $$

que sólo tienen raíces negativas. Esto completa la prueba.