Serie con parte fraccionaria de $nx$

Question

Considere la función $$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(nx)}{n^2} $$ donde $(x)$ denota la parte fraccionaria de $x$. ¿Cuáles son los puntos de discontinuidad de la $f$, y muestran que forma una contables densa y es $f$ Riemann-integrable en cualquier intervalo acotado? Necesito consejo para este, no el trabajo a domicilio solo en la resolución de problemas para la revisión.

Answer 1

Denotar $$ \varphi_k(x)=\frac{(kx)}{k^2}\qquad f_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n \varphi_k(x) $$ Obviamente para todos los $x\in\mathbb{R}$ tenemos $\varphi_k(x)\geq 0$ por lo tanto la secuencia de $\{f_n(x):n\in\mathbb{N}\}\subset \mathbb{R}_+$ y no decreciente. También podemos observar que la $$ 0\leq \varphi_k(x)\leq\frac{1}{k^2}. $$ Desde $\sum\limits_{k=1}^\infty k^{-2}&lt+\infty$, por Weierstrass $M$-prueba llegamos a la conclusión de que $\{f_n:n\in\mathbb{N}\}$ converge uniformemente en $\mathbb{R}$ a la función $$ f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty \varphi_k(x) $$ Denotar $D_k=\{m/k:m\in\mathbb{Z}\}$,$\mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}=\mathbb{R}\setminus(\cup_{k\in\mathbb{N}} D_k)$. Desde $D_k$ es el conjunto de dicontinuiuty de $\varphi_k$,$\varphi_k\in C(\mathbb{I})$. Como consecuencia,$\{f_n:n\in\mathbb{N}\}\subset C(\mathbb{I})$. Pero como hemos demostrado anteriormente $f_n\rightrightarrows f$$\mathbb{R}$, por lo tanto $f\in C(\mathbb{I})$. Ahora pretendemos que $\mathbb{Q}$ es el conjunto de discontinuidad de la $f$. Tome $x=p/q\in\mathbb{Q}$, entonces uno puede fácil comprobar que $$ \lim\limits_{t\a x-0}\varphi_k(t)-\varphi_k(x)= \begin{cases} 0& kx\notin\mathbb{Z}\\ \frac{1}{k^2}& kx\in\mathbb{Z} \end{casos}\qquad $$ Desde $f_n\rightrightarrows f$ $\mathbb{R}$ hemos $$ \lim\limits_{t\a x-0}f(t)= \lim\limits_{t\a x-0}\sum\limits_{k=1}^\infty \varphi_k(t)= \sum\limits_{k=1}^\infty\lim\limits_{t\a x-0} \varphi_k(t) $$ y, en consecuencia, $$ \lim\limits_{t\a x-0}f(t)-f(x)= \sum\limits_{k=1}^\infty\lim\limits_{t\a x-0} \varphi_k(t)-\sum\limits_{k=1}^\infty\varphi_k(x)= \sum\limits_{k\in\mathbb{N},kx\in\mathbb{Z}}\frac{1}{k^2}>0. $$ Esto significa que $x$ es un punto de discountinuity de $f$. Desde $x\in\mathbb{Q}$ es arbitrario $f$ es discontinua en a $\mathbb{Q}$.

Ahora nos dirigimos a la integrabilidad de Riemann pregunta. Deje $[a,b]\subset\mathbb{R}$. Desde $f\in C(\mathbb{I})$ $\mathbb{R}\setminus\mathbb{I}=\mathbb{Q}$ es contable, entonces $f$ es continua en casi todas partes en $[a,b]$. Por Lebesgue criterio $f$ es de Riemann itegrable.