Hola a todos.
Mi pregunta tiene que ver con la instrucción siguiente.
"Tener un grothendieck la topología en una categoría C es equivalente a tener un completo reflexivo subcategoría Sh(C) en la categoría de PSh(C) de presheaves, cuyo reflejo es la izquierda exacto".
Lo que necesito es una referencia para este contiene una prueba. Traté de google, pero no podía encontrar cualquier cosa, además de citas de este resultado.
He visto una referencia a este hecho, y yo creo que fue en Artin, el libro de Grothendieck Topologías. Yo no tengo ninguna copia disponible para comprobar esto ahora mismo.
Antes de encontrar la referencia, me escribió un poco de tratamiento para mi propio beneficio; me tomó de la "total reflexivo de la subcategoría" idea como la definición de un topos de Grothendieck, luego resultó que todos vienen de Grothendieck topologías. Es en la sección 3.7 de http://www.math.uiuc.edu/~rezk/homotopy-topos-sketch.pdf
La prueba es similar a esto. Que un Grothendieck topología da lugar a una completa reflexivo subcategoría de la izquierda reflejo exacto es estándar. Si te dan un reflexivo subcategoría $D\subseteq Psh(C)$, considerar todos los tamices, es decir, monomorphisms $f:S\to h_X$ donde $h_X$ es lo representable functor determinado por $X\in C$. Llame a $f$ un cubriendo tamiz si $Lf$ es un isomorfismo, donde $L: Psh(C)\to D$ es la izquierda adjunto. Usted, a continuación, mostrar (i) la recopilación de cobertura de los tamices es una topología de Grothendieck $\tau$, y (ii) las poleas para $\tau$ son exactamente los presheaves isomorfo a objetos de $D$. Tanto en (i) y (ii) requerir el uso del hecho de que $L$ exacto. (ii) es equivalente a la declaración: (ii) para todos los $f:X\to Y$ en $Psh(C)$, $Lf$ es la iso si y sólo si $L_\tau f$ es la iso (donde "$L_\tau$" es sheafification con respecto a $\tau$.) Es conveniente probar (ii') por primera vez para monomorphisms $f$, y, a continuación, para epimorphisms $f$.
Para agregar a lo que Charles escribió, otra referencia es de Mac Lane y Moerdijk de Poleas en la Geometría y la Lógica. Que probar algo un poco más general, la participación de Lawvere-Tierney topologías en un topos. Para los efectos de la comprensión de lo que voy a escribir, no es necesario saber qué es una Lawvere-Tierney topología.
Mac Lane y Moerdijk el libro contiene los siguientes dos resultados:
Deje $\mathcal{E}$ ser un topos. A continuación, el subtoposes de $\mathcal{E}$ (es decir, la reflexión completa subcategorías con la izquierda exacta reflectores) corresponden canónicamente a la Lawvere-Tierney topologías en $\mathcal{E}$.
Deje $\mathbf{C}$ ser una pequeña categoría. A continuación, el Lawvere-Tierney topologías en $\mathbf{Set}^{\mathbf{C}^{\mathrm{op}}}$ corresponden canónicamente a la Grothendieck topologías en $\mathbf{C}$.
Resultado 1 es casi parte de Corolario VII.4.7. El "casi" es porque no ir todo el camino en la demostración de una correspondencia uno a uno, pero supongo que no es muy difícil acabar con ella. (Edit: también aparece como Teorema A. 4.4.8 de Johnstone del Bocetos de un Elefante, donde Lawvere-Tierney topologías son llamados operadores locales.) Resultado 2 es el Teorema V. 4.1.
Estoy de acuerdo con el punto de vista de que Charles defensores. Cuando empecé a aprender topos teoría tengo empantanados en la detallada cosas acerca de Grothendieck topologías, y todo parecía muy técnico y poco atractivo. No fue hasta años más tarde que supe el maravilloso hecho de que Charles menciona: primaria topos es Grothendieck el fib es un subtopos de algunos presheaf topos. Desearía que alguien me hubiera dicho que en el primer lugar!
El mencionado referencias y algunos más están en nLab: categoría de poleas.
Por ejemplo, el libro de Kashiwara-Shapira útil de la cuenta. Cuando me enteré de este material me pareció útil para leer Mac-Lane/Moerdijk en paralelo a Kashiwara/Shapira. El primero tiene más del topos de la teoría de la imagen, el segundo más de la homotopy de la teoría de la imagen.
Como sabemos, a partir de Rezk y Lurie,*s, estos dos aspectos tomados en conjunto, que dan la imagen completa.
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