¿Cómo sabemos que inventar álgebra homológica?

Question

Actualización: Qiaochu puntos Yuan en los comentarios que el título de la pregunta es engañosa, ya que el álgebra homológica no comenzar con el largo exacto de secuencias como yo pensaba.

(Pregunta Original de la siguiente manera.)

Quiero entender cómo alguien sabía que el largo de la secuencia exacta en la homología era algo que había que ir buscando. Parece que cada vez que me tire un paso que acaba de terminar con más preguntas, aunque...

Sé que el largo de la secuencia exacta en la homología viene de corto exacta de las secuencias de los complejos de la cadena. El principal ejemplo que he percibido en general porque esto es algo como esto: Dejar que $B$ a ser un (simplicial, CW, etc.) complejo y dejar que $A$ ser un subcomplejo de $A$. La inclusión induce un mapa de los complejos de la cadena $C_\bullet \a C_\bullet B$, y así podemos obtener una breve secuencia exacta $0 \C_\bullet \a C_\bullet B \C_\bullet B / C_\bullet \a 0$. Si escribimos $H_\bullet(B, A) := H_\bullet(C_\bullet B / C_\bala A)$ entonces tenemos inducida por los mapas de $H_n(A) \a H_n(B) \a H_n(B, A)$.

Ignorar por el momento, que parece ser un bonito tramo de la medida para llegar desde allí a la idea de que una larga secuencia exacta de que podrían existir en la homología. Así que lo que puedo decir $H_n(B, a)$ no es un objeto natural para estudiar desde una perspectiva geométrica, y el único propósito de la definición es que (tautologically) nos da una breve secuencia exacta.

Pero entonces, ¿cómo sabemos que a corto exacta secuencias son algo que queremos estudiar? La única motivación que conozco para los que quieren parecer a una corta secuencia exacta es que puede conducir a una larga secuencia exacta en la homología, pero ¿cómo descubrir que el hecho de que sin conocer a empezar por mirar a corto exacta de las secuencias?

Por supuesto, incluso una vez que hemos empezado a ver los cortos exacta de las secuencias, la existencia de una conexión mapa de lejos parece obvio.

¿Alguien puede dar una idea de cómo la gente nunca llegó con este material?

Answer 1

Has leído Weibel la Historia de Álgebra Homológica?

Answer 2

Como yo sé que el "antiguo" topologists había estudiado los números de Betti $\beta_n(Una)$ (las filas de abelian grupos $H_n(Una)$) y, a continuación, se dieron cuenta de la conexión entre las secuencias de $\{\beta_n(A)\}$ y $\{\beta_n(B)\}$.

Answer 3

En mi opinión, la relación singular de homología grupo $H_n(B, A)$ es, naturalmente, un objeto geométrico. Como Stefan H. dice en los comentarios, la idea de considerar el límite de un pariente ciclo en $(a, B)$ como un ciclo de una dimensión menor en $B$ es bastante natural.

Pero, ¿por qué es esta conectado a la corta secuencia exacta? Un cociente de grupos de cadena (la relación de grupo) debe estar relacionada con un cociente de la subyacente espacios.

Relativo en el grupo de $C_n(B, A)$, la condición para una cadena de un ciclo es relajado desde el límite de $0$ hasta el límite de ser una cadena en el subespacio $A$. Bajo suave supuestos sobre el par $(a, B)^\daga$, el cociente de mapa $B \a B/A$ induce un isomorfismo $$H_n(B, A) \desbordado{\sim}{\longrightarrow} \tilde{H}_n(B/A).$$ Cuando el subespacio $A$ es quotiented a un punto, el límite de una cadena en $B$ mapas a ese punto en $H_n(B/A)$ o $0$ en el grupo reducido.

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$^\daga$ $$ es cerrado y es una deformación de retirar de un barrio $A'$ en $B$