Considere la posibilidad de rutas de $(0,0)$ $(k,n)$que el aumento de uno de los dos componentes en cada paso, así que son los $n+k$ pasos, entre los que se $k$ horizontal (aumento de la $i$$(i,j)$) y $n$ vertical (aumento de la $j$).
Hay $\binom{n+k}k$ rutas de acceso.
Deje que el primer punto con la primera coordenada $i$$(i,j_i)$$i=1,\ldots,k$, entonces claramente $0\leq j_1\leq\cdots\leq j_k\leq n$. Por otra parte, todas estas secuencias de valores permitidos, y determinar la ruta de acceso: el horizontal pasos son, precisamente, los de$(i-1,j_i)$$(i,j_i)$$i=1,\ldots,k$.
Otros puntos de vista. Si usted toma $y_i$ a ser el índice de la horizontal paso a $(i,j_i)$ entre todos los pasos (que son numeradas de $1$$n+k$), se obtendrá su $0<y_1<\cdots<y_k\leq n+k$. Si ponen un caramelo (star) en cada punto de $(i,j)$ de la ruta de acceso y el pensar de cada uno horizontal, el paso de una separación (bar), tendrá que dividir su $n+k+1$ caramelos en $k+1$ vertical grupos ( $i=0,1,\ldots,k$ ) el último grupo $i=k$ siendo las sobras. Pero en realidad desea que cada grupo para tener tantos caramelos como se ha vertical pasos, no los puntos, por lo que eliminar uno de cada grupo para corregir este poste del cerco de error, dejando a los grupos verticales de los pasos de los tamaños de las $d_0,d_1,\ldots,d_k$ (cada una de las $d_i\geq0$)$d_0+\cdots+d_k=n$. En la final que bien podría tomar $n+k$ pasos, elija $k$ de ellos a ser horizontal (barras) y el resto de $n$ a ser vertical (de las estrellas). Pero creo que ya he dicho algo parecido al principio.