Integral inadecuada que contiene $\sqrt{\cos x-\frac1{\sqrt 2}}$ en el denominador

Question

¿Cómo encuentro el valor de esta integral?

$$I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \frac{\sec^2 x \ dx}{\sqrt {\cos x-\dfrac{1}{\sqrt 2}}}$$

Yo también me encontré con esta integral en física.

Answer 1

$$I=\frac\pi{\sqrt[4]2}+\sqrt{20-14\sqrt2}\ K\!\left(2\sqrt2-3\right)+\sqrt{2+\sqrt2}\ E\!\left(2\sqrt2-3\right)\\-2\sqrt{2-\sqrt2}\ \Pi\left(\sqrt2-1,\,2\sqrt2-3\right)$$ donde $K(m), E(m), \Pi(n,m)$ son los integrales elípticas completas del primer, segundo y tercer tipo: $$K(m)={\large\int}_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-m\sin^2\theta}}$$ $$E(m)={\large\int}_0^{\pi/2}\sqrt{1-m\sin^2\theta}\,d\theta$$ $$\Pi(n,m)={\Large\int}_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\left(1-n\sin^2\theta\right)\sqrt {1-m\sin^2\theta}}$$ Obsérvese que esta notación utiliza el parámetro $m=k^2$ en lugar del módulo $k$ que puede diferir de una convención utilizada en otros lugares.

Answer 2

Con $t=\cos(x)$ vemos que es una integral elíptica, $$ I = \int_{1/\sqrt{2}}^1 \frac{dt}{t^2\sqrt{(1-t^2)(t-1/\sqrt{2})}} $$

añadido

Maple obtiene: si $0<a<1$ entonces $$ \int _{a}^{1}\!{\frac {dt}{{t}^{2}\sqrt { \left( 1-t^2 \right) \left( t-a \right) }}}{} =-{\frac {\sqrt {2}{\bf K} \left( 1 /2\,\sqrt {-2\,a+2} \right) }{a}} +{\frac {\sqrt {2} \left( a+1 \right) {\bf E} \left( 1/2\,\sqrt {-2\,a+2} \right) }{a \left( 1+a \right) }} +\frac{1}{\sqrt {2}} \left( a+1 \right) {\bf \Pi} \left({\frac {a-1}{2a}}, \frac{\sqrt {-2\,a+2}}{2} \right) {a}^{-2} $$ y, en particular, con $a=1/\sqrt{2}$ , $$ I = 2\,{\bf E} \left( 1/2\,\sqrt {2-\sqrt {2}} \right) -2\,{\bf K} \left( 1/2\,\sqrt {2-\sqrt {2}} \right) + \left( 1+\sqrt {2 } \right) {\bf \Pi} \left( 1/4\, \left( -2+\sqrt {2} \right) \sqrt {2},1/2\,\sqrt {2-\sqrt {2}} \right) \approx 3.338954 $$ donde la notación de Maple utiliza el módulo $k$ .