Para qué funciones es $y'' = y$?

Question

¿Qué funciones $y = f(x)$ tienen la propiedad de que $f(x) = f''(x)$, es decir, qué funciones tienen la misma integral y derivitive?

Lo que yo podía pensar de $ce^x$ $ce^{-x}$ (donde $c$ es una constante), pero hay otros? Si no, ¿cómo se puede demostrar que esos son los únicos?

Answer 1

No átomo-bomba de prueba de que $A e^x + B e^{-x}$ son las únicas soluciones:

1. $(y'+y)' = y'' + y' = y + y'$ $y'+y = C e^x$

2. $(y'-y)' = y'' - y' = y - y' = -(y'-y)$ $y'-y = D e^{-x}$

Restando estas dos ecuaciones obtenemos $2y = C e^x - D e^{-x}$ o, después de dividir y cambiar el nombre de las constantes:

$y = A e^x + B e^{-x}$

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Suplemento de probar si $u' = r u$ $u = C e^{rx}$:

Reescribir esto como $u' - ru = 0$ y multiplicar ambos lados por $e^{-rx}$.

A continuación,$e^{-rx} u' + (-r) e^{-rx} u = 0$.

El LHS es $\frac{d}{dx}\left[ e^{-rx} u\right]$, y la ecuación indica que este derivado aquí es cero, por lo que tenemos:

$e^{-rx} u = C$

o en otras palabras

$u = C e^{rx}$

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Antecedentes sobre estos dos métodos:

El truco en la sección superior es una técnica general para la comprobación de los resultados para los sistemas lineales de primer orden ecuaciones basadas en la búsqueda de vectores propios. (Un segundo orden de la ecuación es un sistema de dos de primer orden ecuaciones si dejas $y'$ ser una nueva variable y de incluir $(y)' = y'$ como uno de sus ecuaciones.)

El truco en la segunda sección se llama el método de la integración de factores.

También hay un super lujo manera de hacer las dos secciones a la vez utilizando una matriz exponencial.

Answer 2

Multiplicar ambos lados por $2y'$ y se obtiene

$$2y''y'=2y'y.$$

Usted debe reconocer la derivada de $y'^2$ a la izquierda y que de $y^2$ a la derecha.

La integración,

$$y'^2=y^2+C_0,$$

y

$$\frac{y'}{\sqrt{y^2+C_0}}=\pm1.$$

La integración de una vez de nuevo (el uso de una tabla),

$$\ln\left(y+\sqrt{y^2+C_0}\right)=\pm x+C_1,$$ o $$y+\sqrt{y^2+C_0}=C_2e^{\pm x},$$ $$y^2+C_0=\left(C_2e^{\pm x}-y\right)^2,$$ $$C_0=C_2^2e^{\pm2x}-2C_2e^{\pm x}y,$$ $$\color{green}{y=Ce^{\pm x}+C'e^{\mp x}}.$$

Esto confirma el conocido resultado.

Answer 3

El uso de la diferencial operador $D$, la ecuación es $$D^2y=y\text{, or }(D^2-1)y=0.$$ Este factores como $$(D-1)(D+1)y=0.$$ Empezamos a $z=(D+1)y$ y resolver $$(D-1)z=0.$$ $$Dz-z=0\implies (Dz)e^{-x}-ze^{-x}=(Dz)e^{-x}+zD(e^{-x})=D(ze^{-x})=0\implies ze^{-x}=C_0,$$ $$z=C_0e^x.$$

Luego de resolver $$(D+1)y=C_0e^x.$$

$$Dy+y=C_0e^x\implies (Dy)e^x+ye^x=(Dy)e^x+yD(e^x)=D(ye^x)=C_0e^{2x}\\\implies ye^x=C_1e^{2x}+C_2,$$

$$\color{green}{y=Ce^x+C'e^{-x}}.$$

El método se generaliza arbitraria de polinomios en $D$.

Answer 4

Todas las combinaciones lineales de las dos soluciones que usted ha mencionado. Es decir,

$ y = A e^{x} + B e ^{-x} $ donde $ A,B $ son constantes.