Cómo probar que $\int_{-\pi}^{+\pi}\cos{(2x)}\cos{(3x)}\cos{(4x)}\cdots\cos{(2005x)}dx$ es positiva

Question

mostrar que $$I=\int_{-\pi}^{+\pi}\cos{(2x)}\cos{(3x)}\cos{(4x)}\cdots\cos{(2005x)}dx>0$$

Este problema es mi frend me preguntan a mí,

Yo:

$$I=2\int_{0}^{\pi}\cos{(2x)}\cos{(3x)}\cos{(4x)}\cdots\cos{(2005x)}dx$$ y creo que tal vez el uso de $$2\cos{x}=e^{ix}+e^{-ix}$$ $$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2^{2003}}\int_{0}^{\pi}(e^{2ix}+e^{-2ix})\cdots(e^{-2005ix}+e^{2005ix})dx>0$$ y entonces no puedo obras,y yo creo que esto es agradable a la desigualdad,Gracias

Por cierto: he preguntar a mi frend, donde a partir de este problema,Que me dicen es de mathlinks :http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=296&t=549449&p=3252846#p3252846

Answer 1

Mantener la integral en $(-\pi,\pi)$ y el uso de su idea de la colocación de cada una de las $\cos(kx)$$\frac12(\mathrm e^{\mathrm ikx}+\mathrm e^{-\mathrm ikx})$. Este rendimientos $$ 2^{2004}I=\int_{-\pi}^\pi\prod_{k=2}^{2005}(\mathrm e^{\mathrm ikx}+\mathrm e^{-\mathrm ikx})\,\mathrm dx. $$ La expansión del producto en el integral de los rendimientos de una combinación lineal de $\mathrm e^{\mathrm inx}$ $n$ entero, y esta combinación lineal ha entero no negativo de los coeficientes. Ahora, para cada entero $n$, $$ \int_{-\pi}^\pi\mathrm e^{\mathrm inx}\,\mathrm dx=2\pi\,\mathbf 1_{n=0}, $$ por lo tanto $2^{2004}I$ $2\pi$ multiplicado por el coeficiente de $\mathrm e^{\mathrm i0x}$ en la expansión del producto. Este coeficiente es el tamaño del conjunto $S$ $(x_n)$ $\{-1,+1\}^{2004}$ tal que $2x_2+3x_3+\cdots+2005x_{2005}=0$.

Finalmente,$S=\varnothing$, $I=0$ o$S\ne\varnothing$,$I=2\pi\cdot\#S/2^{2004}\geqslant2\pi/2^{2004}\gt0$. Desde $2005-1=4\cdot501$ es un múltiplo de a $4$ $n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0$ por cada $n$, la secuencia de $1(-1)(-1)1$ repitió $501$ veces es en $S$, por lo tanto $I\gt0$.

El argumento de obras de sustitución de $(2,3,4,\ldots,2005)$ cualquier $(n+1,n+2,\ldots,n+4k)$.

Edit: El cambio de variable $x\to x+\pi$ y la observación de que la $\cos(n(x+\pi))=(-1)^n\cos(nx)$ por cada $n$, muestra que el análogo de $I$ $(n+1,n+2,\ldots,n+i)$ $0$ al $ni+\frac12i(i+1)$ es impar. En la pregunta $n=1$ por lo tanto $I=0$ al $\frac12i(i+3)$ es impar, es decir, por cada $i$ tal que $i=2\pmod{4}$ o $i=3\pmod{4}$ (esto fue observado por @Jean-Sébastien en un comentario).

Cuando $i=0\pmod{4}$, $I\gt0$ por lo anterior.

Al $i=1\pmod{4}$, ten en cuenta que en los cinco primeros cosenos pueden ser agrupados a lo largo de los signos $+2+3-4+5-6=0$, y cada grupo de cuatro, después de ellos, a lo largo de los habituales signos $+--+$. Este rendimientos $I\gt0$ $n=1$ y cada $i=1\pmod{4}$, $i\geqslant5$ (también se observó que @Jean-Sébastien), excepto que $I=0$ al $i=1$.

Answer 2

Idea: tenga en cuenta que cuando usted tiene una polinomios $p(x)$, $$\int_{-\pi}^\pi p(e^{it}) \cdot e^{-n\cdot it} dt = \int_0^{2\pi} p(e^{it}) \cdot e^{-n\cdot it}dt = 2\pi \times [x^n]\{p(x)\} $$ donde $[x^n]\{p(x)\}$ es el coeficiente de $x^n$$p(x)$.