Hace esto difícil de la serie converge?

Question

$$\sum_2 \frac{\cos(\log{n})}{n\log{n}}$$

El ingenuo intento es el uso de dirichlet de la prueba alegando falsamente que $\cos(\log{n})$ tiene sumas parciales acotadas, pero creo que no funciona.

También estoy tratando de una diferencia de la suma y la integral tipo de estrategia, pero no estoy seguro de dónde ir de ella.

Finalmente, como A. S se señala más abajo en los comentarios, la integral de la prueba no se aplica, ya que cos(logn) no se comportan monótonamente...

Todas las ideas son bienvenidas.

Gracias,

Answer 1

En primer lugar examinar la correspondiente integral:

$$\int_2^{\infty} \frac{\cos(\log(x))}{x \log(x)}dx = \int_{log(2)}^{\infty} \frac{\cos(u)}{u} du = \left[ \frac{\sin(u)}{u} \right]_{log(2)}^{\infty} + \int_{log(2)}^{\infty} \frac{\sin(u)}{u^2}du $$ este es convergente.

A continuación nos fijamos en la derivada de la función $$\begin{align}f(x) &= \frac{\cos(\log(x))}{x \log(x)} \\ f'(x) &= \frac{-1/x \cdot\sin(\log(x))\cdot x \log(x) + \cos(\log(x))(\log(x)+1)}{(x \log(x))^2}\\ |f'(x)| &< \frac{2}{x^2}\end{align}$$, para poder comparar los términos de la suma y la integral sobre intervalos de longitud 1: $$\begin{align} \left| \frac{\cos(\log(k))}{k \log(k)} - \int_k^{k+1} \frac{\cos(\log(x))}{x \log(x)} dx \right| &\leq \int_k^{k+1} | f(k) - f(x) | dx \\ &\leq \max_{k<x<k+1} | f'(x) | < \frac{2}{k^2} \end{align}$$

Puesto que la integral y la suma de las diferencias que ambos son convergentes, la original de la serie es convergente.