problemas con esta integral

Question

Podría alguien ayudarme a hacer esta integral ?

$$\int_{\,0}^\infty \; \frac{\exp \left( -\frac{1}{x} -x\right)}{\sqrt{x}} \, dx = \sqrt{\pi}e^{-2} $$

Creo que empezar con completando el cuadrado en el exponente, pero lo que la sustitución de hacer entonces ? $u=\sqrt{x}$ no se parece a obtener de mí ahora.

Answer 1

Sustituto de la primera $x=u^2$ para tener:

$$ I = \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x}\exp\left(x+\frac{1}{x}\right)}=2\int_{0}^{+\infty}e^{-\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}\,dx$$

Utilice ahora la sustitución de $x=\frac{1}{y}$ que han:

$$ I = 2\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^2}e^{-\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}\,dx,$$

a partir de la cual de la siguiente manera:

$$ I = \int_{0}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)e^{-\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}\,dx,$$

y la clave de la sustitución de ahora es $u = x-\frac{1}{x}$, de los cuales tenemos:

$$ I = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-u^2-2}\,du = e^{-2}\sqrt{\pi}, $$

QED.