la desigualdad de la prueba

Question

¿cómo podemos mostrar que el siguiente tiene para $k \ge 2$, $k \in \mathbb{N}$: $$ 1 < \left( k - \frac{1}{2}\right) \log{\left(\frac{k}{k-1}\right)} $$ o, equivalentemente, ¿cómo podemos mostrar que $$ e < \left( \frac{k}{k-1} \right)^{k-1/2} $$ Gracias!

Answer 1

Para $k\ge2$,

$$ \begin{align} \left(k-\frac12\right)\log\frac k{k-1} &= -\left(k-\frac12\right)\log\frac{k-1}k \\ &= -\left(k-\frac12\right)\log\left(1-\frac1k\right) \\ &\gt \left(k-\frac12\right)\left(\frac1k+\frac1{2k^2}+\frac1{3k^3}\right) \\ &= 1+\frac1{12k^2}-\frac1{6k^3} \\ &\ge1\;. \end{align} $$

Answer 2

Un artículo sobre este problema apareció en el American Mathematical Monthly hace 2 años. Contiene 3 pruebas. La referencia es:

Amer. De matemáticas. Mensual 117 (2010) 273-277. doi:10.4169/000298910X480126

Puedes ver el artículo aquí.

Answer 3

Usted puede probar esto.

1 - Vamos k-1=u,

2 - Mostrar la función de $(1+\frac{1}{u})^{u+\frac{1}{2}}$ es la disminución de $u\geq 1$,

3 - Mostrar el límite de esta función cuando u tiende a infinito es $e$,

4 - Conclusión.