Sea $|\cdot |$ la norma euclidiana en $\mathbb{R}^n$. ¿Qué condiciones (preferentemente) en $f:[0,\infty)\mapsto\mathbb{R}$ aseguran que $f\circ |\cdot |\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$? $n=1$, creo que $f\in C^{\infty}([0,\infty))$ y $f^{(k)}(0)=0$ para impar $k$ es suficiente.
Respuesta
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Basta considerar el caso de $n=1$ poniendo todas las coordenadas, a excepción de uno, igual a cero.
Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que el $f(0)=0$. Entonces tenemos que $f(|x|)$ es incluso y $C^{\infty}$. Es un resultado de Whitney (Diferenciable incluso funciones, Duque de Matemáticas. J. 10 (1943), 159-160.) que luego hay es $g\in C^{\infty}$ tal que $f(|x|)=g(x^2)$. Ya para $x\geq0$ tenemos $f(|x|)=f(x)=g(x^2)$, esto es la definición de $f$.
En particular, podemos deducir que su condición es necesaria. Podemos calcular los derivados de la $f$ desde la derecha. y llegamos $D_{+}^{n}f(x)=D_{+}^{n}f(|x|)=D^ng(x^2)$.
Podemos calcular que
\begin{align} Dg(x^2)&=2xg'(x^2)\\ D^2g(x^2)&=2g'(x^2)+4x^2g''(x^2)\\ D^3g(x^2)&=10xg''(x^2)+8x^3g'''(x^2)\\ \ldots& \end{align}
Vemos que para $n$ extraño $D^ng(x^2)|_{x=0}=0$. Si el $\ldots$ no son convincentes de la Faa di Bruno fórmula permite calcular el $n$-th derivados de $g(x^2)$ y ver que es múltiplo de $x$ $n$ impar. Por lo tanto, $D_{+}^{2k+1}f(0)=0$ es una condición necesaria.
Así, la condición necesaria y suficiente es que $f(x)=g(x^2)$ algunos $C^{\infty}$ función de $g$. En otras palabras, para deshacerse de la raíz cuadrada, tiene a la plaza.
