¿Ejemplos de una mónada en un monoide (es decir, categoría con un objeto)?

Question

He estado intentando averiguar qué significaría tener una mónada en un monoide (es decir, una categoría con un objeto).

Hasta donde yo sé, sería un homomorfismo (functor) $T : M M$ con dos elementos (componentes naturales de transformación) $\eta, \mu : M$ tal que

• $\forall x. \eta x = T(x) \eta$
• $\forall x. \mu T(T(x)) = T(x) \mu$
• $\mu \eta$ = $\mu T(\eta)$ = 1
• $\mu T(\mu) = \mu \mu$

La mónada de identidad $T(x) = x$ con $\eta = \mu = 1$ es un ejemplo obvio para cualquier monoide. Pero no se me ocurre ningún otro ejemplo... Estas leyes parecen un poco extrañas. ¿Hay algún ejemplo interesante, o alguna buena intuición de lo que significarían estas leyes?

Answer 1

Así que se puede interpretar un functor $T$ como un homomorfismo $T:M \rightarrow M$ . ¿Cuál es la interpretación de una transformación natural entre dos functores de este tipo? Pues bien, debe asignar a cada elemento de la categoría base (¡sólo hay uno!) algún morfismo tal que el diagrama necesario sea natural. Así que podemos pensar en $\eta, \mu$ como elementos del monoide $M$ que satisfacen las siguientes identidades: $$\begin{align*}\eta m &= T(m)\eta \\ \mu T^2(m) &= T(m) \mu \end{align*}$$ para todos $m$ .

La asociatividad de $T$ se convierte en $$ \mu T(\mu) = \mu^2 $$ Fíjate en dos cosas. Primero, que se trata de una identidad de elementos del monoide $M$ . El LHS corresponde a la transformación natural $\mu \circ T\mu$ mientras que el lado derecho es la transformación natural $\mu \circ \mu T$ . Dado que el functor $T$ fija el único punto de la categoría, $\mu T = \mu$ . La ley unitaria es:

$$\mu T(\eta) = e = \mu \eta.$$

Ahora mismo no me queda claro qué significa esto para un monoide general, pero para un grupo, vemos que $T$ es en realidad una conjugación por $\eta$ y $\mu$ es la inversa de $\eta$ . Así que, al menos para los grupos, las mónadas son sólo automorfismos internos, lo cual es agradable. No puedo pensar en una interpretación para un monoide general, pero la intuición de los grupos podría ayudar.

Answer 2

Escribí algunas entradas en el blog sobre Mónadas sobre monoides y Adjunciones entre monoides . Los principales resultados son:

• Si $M$ es conmutativo, un grupo o finito, entonces toda mónada sobre él es una conjugación.
• Toda mónada sobre monoides surge de una única adjunción entre monoides.
• Hay ejemplos de mónadas sobre monoides que no se dan por conjugación. Estos son necesariamente bastante complicados, ya que por el primer punto deben ser infinitos monoides no conmutativos que no son grupos. Un ejemplo viene dado por $M$ para ser el monoide de funciones preservadoras del orden $\mathbb N \to\mathbb N$ que son eventualmente traslaciones, es decir, con la propiedad de que para todo lo suficientemente grande $n\in\mathbb N$ tienen la forma $n\mapsto n+c$ para algunos $c\in\mathbb Z$ . A continuación definimos $\eta$ por $\eta(n)=n+1$ , $\mu$ por $\mu(n+1)=n$ y $\mu(0)=0$ y $T$ por $T(f)(n+1) = f(n)+1$ y $T(f)(0)=0$ .