Problema: Vamos a $ (X,\mathcal{A},\mu) $ $ (Y,\mathcal{B},\nu) $ medir los espacios, donde
- $ X = Y $ es el intervalo de $ [0,1] $,
- $ \mathcal{A} = \mathcal{B} $ es la colección de subconjuntos de Borel $ [0,1] $,
- $ \mu $ es la medida de Lebesgue y $ \nu $ es el recuento de medida, tanto en $ [0,1] $.
Mostrar que la diagonal set $ \Delta \stackrel{\text{def}}{=} \{ (x,y) \in X \times Y \mid x = y \} $ es medible con respecto al producto de la medida $ \mu \otimes \nu $. (De hecho, es una $ F_{\sigma \delta} $-set).
Muestran también que si $ f $ es la función característica de a $ \Delta $, luego $$ \int_{X \times Y} f ~ \mathrm{d}{(\mu \otimes \nu)} \neq \int_{X} \left[ \int_{Y} f(x,y) ~ \mathrm{d}{\nu(y)} \right] \mathrm{d}{\mu(x)}. $$
Es esta una contradicción de Fubini del Teorema o Tonelli del Teorema?
Solución: Para cada una de las $ n \in \mathbb{N} $ y cada una de las $ j \in \{ 1,\ldots,n \} $, vamos a $ I_{j,n} $ el valor del intervalo de $ \left[ \dfrac{j - 1}{n},\dfrac{j}{n} \right] $. También, para cada una de las $ n \in \mathbb{N} $, vamos a $ I_{n} $ denotar la unión de $ \displaystyle \bigcup_{j = 1}^{n} I_{j,n} $. Luego tenemos a $ \displaystyle \Delta = \bigcap_{n = 1}^{\infty} I_{n} $, lo $ \Delta $ es medible.
Siguiente, se observa que la $$ \int_{X} \left[ \int_{Y} {\chi_{\Delta}}(x,y) ~ \mathrm{d}{\nu(y)} \right] \mathrm{d}{\mu(x)} = \int_{X} \nu(\{ y \Y \a mediados de y = x \}) ~ \mathrm{d}{\mu(x)} = \int_{X} 1 ~ \mathrm{d}{\mu} = 1, $$ mientras que $$ \int_{Y} \left[ \int_{X} {\chi_{\Delta}}(x,y) ~ \mathrm{d}{\mu(x)} \right] \mathrm{d}{\nu(y)} = \int_{Y} \mu(\{ x \X \a mediados de x = y \}) ~ \mathrm{d}{\nu(y)} = \int_{Y} 0 ~ \mathrm{d}{\nu} = 0. $$
Ahora, supongamos que el $ (A_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ $ (B_{n})_{n \in \mathbb{N}} $ son secuencias de subconjuntos de Borel $ [0,1] $ tal que $$ \Delta \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty} (A_{n} \times B_{n}). $$ Podemos encontrar una $ N \in \mathbb{N} $ tal que $ B_{N} $ es infinito, lo que nos da $ (\mu \otimes \nu)(A_{N} \times B_{N}) = \infty $. Por lo tanto, $$ \sum_{n = 1}^{\infty} (\mu \otimes \nu)(A_{n} \times B_{n}) = \infty. $$ La definición de una capa exterior de medir, por tanto, los rendimientos de los $$ \int_{X \times Y} \chi_{\Delta} ~ \mathrm{d}{(\mu \otimes \nu)} = (\mu \otimes \nu)(\Delta) = \infty. $$
