Una caracterización de las funciones de $\mathbb R^n$ $\mathbb R^m$que son continuas

Question

Saluda

Se me ocurrió el otro día con la siguiente pregunta: ¿Es cierto que $f:\mathbb{R}^n\longrightarrow{\mathbb{R}^m}$ es continua si y sólo si $f$ mapas compacto juegos en compacto conjuntos de mapas y conjuntos conectados en conjuntos conectados?

Estoy teniendo problemas para mostrar el "si", y no he encontrado un contraejemplo a esta parte, así que agradecería ideas para probar o refutar esto.

Gracias

Answer 1

Supongamos $f$ tiene su propiedad, pero es discontinua en a $x=a$. Ahora para cada $\delta > 0$, $f([a-\delta, a+\delta])$ está conectado a un conjunto compacto, y por lo tanto es un intervalo que contiene a $f(a)$. Además desde $f$ es discontinua en a $x=a$ debe haber alguna $c \ne f(a)$ tal que $f([a-\delta,a+\delta])$ contiene $f(a)$ $c$ (y, ya que es un intervalo, todo en el medio) para todos los $\delta > 0$. A continuación, hay una secuencia $x_n$ tal que $|x_n - a| < 1/n$$f(x_n) = (1 - 1/n) c + (1/n) f(a)$. A continuación, $K = \{a\} \cup \{x_n: n \in {\mathbb N}\}$ es un conjunto compacto, $c$ es un punto límite de $f(K)$, pero $c \notin f(K)$, contradicción.

EDIT: La cuestión de las funciones de $f$ ${\mathbb R}^n$ ${\mathbb R}^m$también parece interesante. Supongamos que un $f$ mapas compacto de los conjuntos compactos de conjuntos y conjuntos conectados a conjuntos conectados, pero es discontinua en a $a$. Deje $B_\delta(p)$ ser la bola cerrada de radio $\delta$ centrada en $p$ $S_\delta(p)$ la esfera de radio $\delta$ centrada en $p$ (en ${\mathbb R}^n$ o ${\mathbb R}^m$ dependiendo del contexto). No es $\epsilon > 0$ tal que para todo $\delta > 0$, $f(B_\delta(a))$ es no contenida en $B_\epsilon(f(a))$. Para cada $r \in (0,\epsilon)$, ya que el $f(B_\delta(a))$ está conectado, $f(B_\delta(a)) \cap S_r(f(a))$ debe ser no vacío. En particular podemos tomar $x_n$$\|x_n - a\| \le 1/n$$\|f(x_n) - f(a)\| = (1-1/n) \epsilon$. De nuevo llegamos a una contradicción, teniendo $K = \{a\} \cup \{x_n: n \in {\mathbb N}\}$.

Answer 2

Tengo una respuesta alternativa:

Supongamos $f:\mathbb{R}^n\longrightarrow{\mathbb{R}^m}$ envía conjuntos conectados en conjuntos conectados y compacto juegos en conjuntos compactos. Queremos mostrar a $f$ es continua. Supongamos que no,entonces no es $a\in{R}$ $\epsilon>0$ tal que para cada a $n\in{N}$ hay$x_n\in{B_{\frac{1}{n}}(a)}$$||f(x_n)-f(a)||>\epsilon$, ya que el $f(\overline{B_{\frac{1}{n}}(a)})$ está conectado y compacto debemos tener ese $(\overline{B_{\epsilon}(a)}-{B_{\frac{\epsilon}{2}}(a)})\cap{f(\overline{B_{\frac{1}{n}}(a)})}\neq{\emptyset}$ todos los $n>1$, $\{f(\overline{B_{\frac{1}{n}}(a)})\}_{n\in{\mathbb{N}}}\cup{\{\overline{B_{\epsilon}(f(a))}-{B_{\frac{\epsilon}{2}}(f(a))}\}}$ es una familia de conjuntos cerrados con un almacén de elemento finito intersección de la propiedad, a continuación,$(\bigcap_{n_\in{\mathbb{N}}}f(\overline{B_{\frac{1}{n}}(a)}))\cap{(\overline{B_{\epsilon}(f(a))}-{B_{\frac{\epsilon}{2}}(f(a))})}\neq{\emptyset}$, entonces no es $b\in{\bigcap_{n_\in{\mathbb{N}}}f(\overline{B_{\frac{1}{n}}(a)})}$ $\frac{\epsilon}{2}<{||b-f(a)||}\leq{\epsilon}$ , pero tenemos que $\bigcap_{n_\in{\mathbb{N}}}(\overline{B_{\frac{1}{n}}(a)}))=\{a\}$, lo $\bigcap_{n_\in{\mathbb{N}}}f(\overline{B_{\frac{1}{n}}(a)}))=\{f(a)\}$.Una Contradicción.Por lo tanto $f$ debe ser continua.