Conos sobre superficies

Question

Encontré esta pregunta en uno de los exámenes que se daban para un curso de topología y no pude sacar nada en claro; me pareció abrumadora como pregunta, pero a lo mejor me estoy perdiendo algo.

Definamos el cono sobre cualquier espacio topológico $Y$ como $c(Y) = Y \times [0,1]$ donde $Y \times \{0\}$ se reduce a un punto. Demostrar que para cualquier superficie compacta, conexa y sin límites con característica de Euler menor que $1$ su cono no es homeomorfo a $c(S^2)$ .

Lo único que pude hacer con él fue reducirlo a esto (que es lo mismo sólo que con el requisito de la característica explicitado): $\forall n > 1$ $c(U_n)$ no es homeomorfo a $c(S^2)$ y $\forall n \geq 1$ $c(V_n)$ no es homeomorfo a $c(S^2)$ . En $U_n$ y $V_n$ son, respectivamente, superficies estándar no orientables y orientables.

En realidad, algo que se me acaba de ocurrir es que no pueden ser homeomórficos porque $S^2$ no es homeomorfa a ninguna de esas superficies, por lo que cada fibra de esos conos no es homeomorfa a ninguna fibra del cono sobre $S^2$ pero no creo que sea suficiente, ¿verdad?

EDIT: la recompensa es tanto para una respuesta que sea diferente a la mía, ya que creo que podría haber un enfoque "más fácil" a la pregunta, y para una respuesta que podría explicar lo que (si lo hay) está mal con mi propio enfoque.

Answer 1

Gracias al comentario de Ryan he podido hacer lo siguiente, agradecería que alguien me señalara algún error o laguna en esta prueba:

deje $\pi(Y): (Y\times [0,1]) \to c(Y)$ la proyección del cociente; si eliminamos el punto $Y\times \{0\}$ (que llamaremos vértice $v$ del cono), tenemos que $c(Y)\setminus \{v\}$ es homeomorfo a $Y \times (0,1]$ ya que $\pi$ es una biyección abierta.

$Y \times (0,1]$ se retrae en $Y \times \{1\}$ (en realidad se trata de un repliegue de deformación), ya que $F((y,t),s) = (y,1-s+ts)$ es una deformación. Además, tenemos que $Y \times \{1\}$ es homeomorfo a $Y$ . Así pues, tenemos que $c(Y) \setminus v$ es homotópicamente equivalente a $Y$ por lo que también la característica de Euler del cono menos el vértice es a lo sumo 1.

Supongamos que $c(Y)$ y $c(S^2)$ son homeomórficas y sea $g$ sea ese homeomofismo; también tenemos que $c(Y) \setminus v$ es homeomorfo a $c(S^2)\setminus f(v)$ . Pero $c(S^2) \cong D^3$ ( $\cong$ significa "es homeomorfo a"), porque $g: c(S^2) \to D^2$ tal que $g(x,t) = tx$ con $t \in [0,1]$ y $x \in S^2$ es constante en las fibras de la proyección cociente, lo que significa que existe $h: c(S^2) \to D^3$ que es continua. Esto también es una biyección y sinche $c(S^2)$ es compacto y $D^3$ es T2, $h$ es un homoeomorfismo.

En este punto tenemos que $c(Y) \setminus v \cong D^3 \setminus h(g(v))$ . Si eliminamos un punto de $D^3$ por otro lado, obtenemos que se retrae sobre su esfera frontera, que tiene característica $2$ lo cual es absurdo.

El caso de que $h(g(v))$ está en la frontera de $D^3$ no puede presentar, ya que existe una retracción $r: c(Y) \setminus v \to Y \times 1$ lo que implica la existencia de la retracción $hgrg^{-1}h^{-1}: D^3 \setminus h(g(v)) \to h(g(Y \times 1))$ pero $h(g(Y \times 1)) \cong Y$ que tiene un grupo fundamental no trivial; esto es absurdo, ya que la inclusión induciría un homomorfismo inyectivo entre un grupo trivial y uno no trivial ( $D^3$ menos un punto es contractible).

Con esto concluye la prueba.