¿Cómo encontrar un generador de un grupo cíclico?

Question

Un grupo cíclico es un grupo generado por un solo elemento. Esto significa que existe un elemento $g$ , digamos, tal que cualquier otro elemento del grupo puede escribirse como una potencia de $g$ . Este elemento $g$ es el generador del grupo.

¿Es una explicación correcta de lo que es un grupo cíclico y un generador? ¿Cómo podemos encontrar el generador de un grupo cíclico y cómo podemos decir cuántos generadores debe haber?

Answer 1

Encontrar los generadores de un grupo cíclico depende del orden del grupo. Si el orden de un grupo es $8$ entonces el número total de generadores del grupo $G$ es igual a enteros positivos menores que $8$ y co-prime a $8$ . Los números $1$ , $3$ , $5$ , $7$ son menores que 8 y coprimas a $8$ por lo que si a es el generador de $G$ entonces $a^3,a^5,a^7$ también son generadores de $G.$ Por lo tanto, hay cuatro generadores de $G.$ Del mismo modo se pueden encontrar generadores de grupos de orden $10$ , $12$ , $6$ etc.

Answer 2

Su explicación me parece buena.

En el caso general, encontrar el generador de un grupo cíclico es difícil. Por ejemplo, creo que no hay ningún algoritmo rápido para encontrar un generador para el grupo multiplicativo $(\mathbb Z/p^k\mathbb Z)^\times$ cuando $p$ es un primo grande. Pero la mayoría de las veces, cuando se trabaja con un grupo cíclico, también se conoce naturalmente un generador.

Si su grupo cíclico tiene orden $n$ Afirmo que habrá un generador para cada número entre $1$ y $n-1$ (inclusive) que es relativamente primordial para $n$ En otras palabras, hay $\varphi(n)$ generadores, donde $\varphi$ es Función totiente de Euler . ¿Por qué es correcta mi afirmación? Supongamos que $g$ es un generador para el grupo, por lo que $g$ tiene orden $n$ . Es un hecho, que te animo a probar si no lo has encontrado, que para un número entero $m$ entre $1$ y $n$ el orden de $g^m$ es $n/(m,n)$ , donde $(m,n)$ es el mayor denominador común de $m$ y $n$ . Así que para $g^m$ para que sea un generador -- o, de manera equivalente, para que $g$ tener orden $n$ -- es necesario y suficiente que $m$ ser relativamente primo de $n$ . Y cada elemento del grupo tiene la forma $g^m$ para algunos $m$ . Por lo tanto, hay $\varphi(n)$ generadores.

Si su grupo cíclico tiene orden infinito entonces es isomorfo a $\mathbb Z$ y sólo tiene dos generadores, las imágenes isomorfas de $+1$ y $-1$ . Pero cualquier otro elemento de un grupo cíclico infinito, excepto $0$ es un generador de un subgrupo propio que es de nuevo isomorfo a $\mathbb Z$ .

Answer 3

Su explicación es correcta. Si el grupo es finito, entonces hay algún orden en $g$ es decir $g^n=e$ y $n$ es mínimo. Entonces $g^m$ es un generador, para cada $m$ que satisface $\gcd(m,n)=1$ . Por lo tanto, hay $\phi(n)$ generadores, donde $\phi$ denota el Totiente de Euler . Generalmente hay muchos generadores, así que no es tan difícil encontrar uno. Basta con tomar elementos al azar y calcular sus órdenes.

Answer 4

Sí, su explicación está bien. Deje que $G$ sea su grupo cíclico.

1. Si $G$ es infinito, entonces $G\cong \mathbb Z$ que tiene dos generadores, $\pm \,1$ .
2. Si $G$ es finito, de orden $n$ entonces $G\cong \mathbb Z/n\mathbb Z$ . Si tiene un generador $g\in G$ (por ejemplo: la imagen de la clase de $1$ bajo un isomorfismo $\mathbb Z/n\mathbb Z\to G$ ), entonces $g^i\in G$ es un generador si y sólo si $(n,i)=1$ . Por lo tanto, hay exactamente $\phi(n)$ generadores en un grupo cíclico finito.

Answer 5

Eso suena bien. El número de generadores depende del orden del grupo. El grupo cíclico infinito $\mathbb{Z}$ tiene dos generadores, $\pm 1$ . Un grupo cíclico finito de orden $k$ tiene $\phi(k)$ generadores donde $\phi$ es el Función phi de Euler .