Lógica detrás de dividir números negativos

Question

En la escuela aprendí que un número positivo, al ser dividido por un número negativo, y viceversa, nos dará como resultado un número negativo. Por otro lado, un número negativo dividido por otro número negativo nos dará como resultado un número positivo.

Dadas las siguientes ecuaciones:

1. $\frac{-18}{2} = -9$
2. $\frac{18}{-2} = -9$
3. $\frac{-18}{-2} = 9$

Así es como yo interpretaría la lógica detrás de la ecuación:

1. Si tengo una deuda de 18 dólares, debida a 2 personas por igual, entonces les debería $9 a cada uno

   • $\frac{-18}2 = -9$

2. Si tengo 18 dólares, debidos a 2 personas por igual, entonces les daría $9 cada uno

   • $\frac{18}{-2} = -9$

Sin embargo, no logro entender por qué un número negativo dividido por otro número negativo me da como resultado un número positivo. ¿Cuál sería la lógica detrás de esto?

Además, creo que tengo mal la lógica/razonamiento para el segundo ejemplo, ¿ya que es exactamente la misma que para el primer ejemplo? ¿Podría alguien darme un mejor ejemplo de la lógica detrás del segundo ejemplo?

Realmente apreciaría si alguien pudiera iluminarme al respecto.

Answer 1

Si tienes una deuda de \$100 y esa deuda se paga en incrementos de \$20, tienes:

$$\frac{-\$ 100}{-\$20} = 5\ \textrm{pagos}.$$

Answer 2

No intentes basar tu comprensión de los números negativos en analogías con deudas o visualización. Cuanto antes entiendas el concepto de los números como objetos abstractos, mejor estarás.

La división $\frac a b$ significa "¿qué número, cuando se multiplica por $b$, da como resultado $a$?". Debido a la forma en que se define la multiplicación de números negativos (y es una definición inventada y abstracta, no "viene" de ningún lado), sucede que al multiplicar un número negativo $-b$ por el número positivo $\frac a b$, obtendrás $-a$. Por lo tanto, el número que necesita ser multiplicado por $-b$ para obtener $-a$ es el número positivo $\frac a b$.

EDICIÓN:

Para responder a las críticas, me gustaría clarificar mi punto de vista con un ejemplo. La mayoría de las personas piensan en los números positivos como "objetos abstractos", en el sentido que estoy utilizando aquí. "$5$" no es "$5$ metros", simplemente es $5$. Por supuesto, somos conscientes de que tienen "representaciones" concretas, pero el punto de vista abstracto en realidad nos ayuda, ya que nos da una intuición general sobre qué cosas pueden ser representadas como números y cuáles no (básicamente, todo lo que se puede contar). Ahora, observa a los antiguos griegos y sus seguidores. Se obligaron a representar los números como longitudes. La multiplicación de dos números significaba considerar el área de un rectángulo. La multiplicación de tres significaba considerar el volumen de un cuboide. Esto llevó a los matemáticos a decir cosas evidentemente absurdas como que multiplicar cuatro números juntos es ilógico (específicamente, que las ecuaciones cuárticas son absurdas, algo que creo que dijo Cardano).

Answer 3

Interpreta las multiplicaciones como una forma de escalar.

$2\times3$ sería la longitud $"2"$ escalada tres veces.

Esto proporciona una forma interesante de interpretar la multiplicación negativa como escalar y revertir.

$9$ metros hacia adelante multiplicado por $-2$ serían $18$ metros hacia atrás.

Ahora define la división como la inversa de la multiplicación. En otras palabras, $-18/-2$ se define como la solución a la ecuación

$$(-2)x=-18$$

Ahora pregúntate, ¿qué longitud debo duplicar y voltear para obtener $18$ hacia atrás?

Claramente la respuesta es $9$ hacia adelante o $+9$.

Nota: La otra respuesta aquí ya tiene una interpretación con deudas como la que estabas buscando, solo la publiqué porque lo de la escala es una forma interesante de verlo. (También se extiende muy bien a los números complejos, mostrándote por qué no son tan imaginarios)

Answer 4

Ni siquiera tienes que pensar en el negativo como "deuda".
¿Cuántos $-2$ necesitas sumar para obtener $-10$? Cinco: $$\frac{-10}{-2} = 5$$

Answer 5

Piénsalo como $\dfrac{-18}{-2}=\dfrac{18\cdot(-1)}{(-2)\cdot1}=\dfrac{18}{-2}\cdot\dfrac{-1}{1}$

Dices que entiendes la lógica detrás de $\dfrac{18}{-2}=-9$

Entonces probablemente entiendes la lógica detrás de $\dfrac{-1}{1}=-1$

Ahora simplemente toma los resultados y multiplícalos: $(-9)\cdot(-1)=9$