Para la geodesia temporal, el parámetro afín es el tiempo adecuado $ \tau $ o su transformación lineal, y la ecuación geodésica es
$$ \frac {d^{2}x^{ \mu }}{d \tau ^{2}}+ \Gamma_ { \rho\sigma }^{ \mu } \frac {dx^{ \rho }}{d \tau } \frac {dx^{ \sigma }}{d \tau }=0. $$
Pero el tiempo apropiado $ \Delta\tau =0$ para los caminos nulos, así que, ¿cuál es el significado físico del parámetro afín para la geodésica nula?
Si te olvidas de la afinidad por un momento: puedes parametrizar una geodésica nula de la manera que quieras. En realidad, se puede parametrizar cualquier geodésica (incluso cualquier curva) de la forma que se quiera; todo lo que se necesita es una función monótona que asigne puntos de la geodésica a valores únicos del parámetro. Pero en el caso de las geodésicas temporales, casi siempre se utiliza el tiempo propio porque es una cantidad física agradable y sensata que también funciona como parámetro.
Con las geodésicas nulas, no tienes el tiempo propio como opción porque el mapeo del tiempo propio asigna el mismo valor a todos los puntos de la geodésica. Así que tienes que elegir alguna otra parametrización. En principio, de nuevo, puede ser cualquier función monótona que mapee puntos de la geodésica a valores únicos del parámetro.
Sin embargo, es posible elegir una forma de parametrizar la geodésica nula de manera que sea "sensata" de la misma manera que el tiempo propio es "sensato" para una geodésica semejante al tiempo. Esto se denomina parámetro afín . En particular, una forma de definir un parámetro afín es que satisfaga la ecuación geodésica. (Nota: la ecuación geodésica no funciona para cualquier parametrización arbitraria de una geodésica. Hay que utilizar un parámetro afín). Otra forma es decir que si la parametrización es afín, el transporte paralelo preserva el vector tangente, como hace Wikipedia. Otra forma es decir que la aceleración es perpendicular a la velocidad dado un parámetro afín, como hace Ron. Todas estas definiciones son equivalentes.
Resulta, aunque no conozco los detalles de una prueba, que existe un parámetro afín único para cualquier geodésica, hasta transformaciones de la forma $t \to at+b$ .
La condición de que la aceleración sea perpendicular a la velocidad, si lo entiendo bien, no puede aplicarse a las geodésicas nulas. Incluso con una parametrización no afín, la aceleración $a^{\mu}=k^{\nu}\nabla_{\nu} k^{\mu}=\kappa k^{\mu}$ es ortogonal a $k^{\mu}$ como $k^{\mu}k_{\mu}=0$ .
Siguiendo la respuesta de David Z, la prueba del último párrafo es:
desde $t$ es un parámetro afín que satisface: \begin{equation} \frac{\mathrm d^2x^a}{\mathrm dt^2}-\Gamma^a_{bc}\frac{\mathrm dx^b}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dx^c}{\mathrm dt}=0 \tag1 \end{equation}
el parámetro $t'$ debe estar relacionado de alguna manera con $t$ Es decir: $$t'=t'(t) \tag2$$
utilizar la regla de la cadena para obtener:
$$\frac{\mathrm dt'}{\mathrm dt}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt'}\left(\frac{\mathrm dt'}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dx^a}{\mathrm dt'}\right)-\Gamma^a_{bc}\left(\frac{\mathrm dt'}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dx^b}{\mathrm dt'}\right)\left(\frac{\mathrm dt'}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dx^c}{\mathrm dt'}\right)=0 \\ \Leftrightarrow \left(\frac{\mathrm dt'}{\mathrm dt}\right)^2\frac{\mathrm d^2x^a}{\mathrm dt'^2}+\frac{\mathrm d^2t'}{\mathrm dt^2}\frac{\mathrm dx^a}{\mathrm dt'}-\Gamma^a_{bc}\left(\frac{\mathrm dt'}{\mathrm dt}\right)^2\frac{\mathrm dx^b}{\mathrm dt'}\frac{\mathrm dx^c}{\mathrm dt'}=0 \tag3 $$
el parámetro afín $t'$ también debe satisfacer: $$\frac{\mathrm d^2x^a}{\mathrm dt'^2}-\Gamma^a_{bc}\frac{\mathrm dx^b}{\mathrm dt'}\frac{\mathrm dx^c}{\mathrm dt'}=0 \tag4$$
comparando $(3)$ y $(4)$ obtenemos las condiciones que: $$ \left(\frac{\mathrm dt'}{\mathrm dt}\right)^2\neq0 \wedge \frac{\mathrm d^2t'}{\mathrm dt^2}=0 \tag5 $$
que da como resultado $t'=\alpha t+\beta$ con $\alpha \neq0$
Una propiedad útil de la parametrización afín es la siguiente. En cualquier punto de la geodésica podemos definir el momento $k^\mu = \dot X^\mu $ donde el punto es la derivada con respecto al tiempo afín. Este momento está definido hasta un reescalado global, debido a la posibilidad de reescalar el parámetro. Ahora lo útil es que la misma derivada, con respecto al mismo parámetro afín, pero en un punto diferente a lo largo de la geodésica da ahora el momento en un punto diferente. Si tuviéramos una partícula sin masa con el momento inicial en el primer punto, entonces este momento final nos da el momento desplazado al rojo, o desplazado al azul, que tendría la partícula a lo largo de la geodésica.
Esto implica que el parámetro afín puede verse como proporcional a la fase de la función de onda cuántica, o fase de la ecuación de onda correspondiente.
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El espaciotiempo es localmente plano, y en cualquier espacio plano hay paralelismo. Esta estructura de paralelismos es completamente independiente de si se piensa que los puntos representan puntos en el espaciotiempo relativista, puntos en el espaciotiempo newtoniano o puntos en el espacio euclidiano. Incluso podría tratarse de un espacio como el gráfico de la temperatura frente al tiempo. Una vez que se tiene la noción de paralelismo, se puede construir automáticamente un sistema de medición a lo largo de cualquier línea. Puedes ver la construcción elaborada aquí: lightandmatter.com/html_books/genrel/ch02/ch02.html#Sección2.1