Álgebra sigma y diferencia de álgebra

Question

1. Un álgebra es una colección de subconjuntos cerrados bajo uniones e intersecciones finitas.

2. El álgebra sigma es una colección cerrada bajo uniones e intersecciones contables.

¿Cuál es la diferencia entre las uniones e intersecciones finitas y contables? ¿Significa "contable" que implica que puede haber infinitas uniones e intersecciones?

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En segundo lugar, estaba leyendo una definición

Para un álgebra en un set: Por la ley de De Morgan, $A \cap B = (A^c \cup B^c)^c$ Así, un álgebra es una colección de subconjuntos cerrados bajo uniones e intersecciones finitas.

¿Qué ley están usando aquí para conseguir $A \cap B = (A^c \cup B^c)^c$ ? Pensé que la ley de Morgan era $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ ?

Finalmente, ¿qué es exactamente lo que quieren decir con "cerrado bajo uniones e intersecciones finitas"?

Answer 1

La palabra 'contable' es lo mismo que 'en biyección con los números naturales' o 'en biyección con los enteros'. Hay infinitos números enteros, por lo que es "más grande" que el finito. Pero también es de alguna manera el infinito más pequeño.

Un caso común en el que esto puede surgir es con respecto a los conjuntos abiertos y cerrados. Una unión finita de conjuntos cerrados es cerrada. Pero una unión infinita de conjuntos cerrados puede no serlo. Por ejemplo, si consideramos los conjuntos $I_n = [\frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n}]$ , entonces cada $I_n$ está cerrado. Pero $\cup_{n \in \mathbb{N}} I_n = (0,1)$ un conjunto abierto.

Con respecto a su pregunta sobre la ley de De Morgan: Es un hecho fundamental que $A = B \iff A^c = B^c$ y que $(A^c)^c = A$ . Así que complementaron su ley de De Morgan para obtener esa declaración.

Por último, las álgebras y las álgebras sigma son colecciones de conjuntos. Ser cerrado bajo intersecciones finitas significa que tomando cualquier número de intersecciones finitas de elementos del álgebra se obtiene un elemento (otro conjunto) que está en el álgebra. Pero quizá esto no sea cierto para una intersección infinita, etc.

Answer 2

Ok, no soy un matemático o un estudiante - PERO Doob - teoría de la medida tenía una respuesta bastante estupenda para ello. De hecho, estaba buscando la respuesta y me metí aquí, y obviamente no pude entender la respuesta. Así que, según Doob, aquí está la respuesta:- El álgebra S es $\sigma$ álgebra si, S contiene el límites de toda secuencia monótona en S. Obsérvese que se trata de la misma idea - que utilizamos para espacio métrico completo .

Así que, ahora creo que lo entiendo. Hay una similitud uno a uno entre estas cosas de medidas y las cosas métricas, y lo que es un espacio completo allí, se convierte en álgebra sigma aquí.

Espero entenderlo.