Cómo que no existe ninguna solución a un problema del logaritmo discreto sobre una Curva Elíptica?

Question

El problema exacto es mostrar que $\nexists$k tal que $k(1,2) = (4,5)$ en la curva elíptica definida por $\widetilde{E}: y^2 = x^3 -14x + 17$$\mathbb Q$.

Antecedentes: E: $y^2 = x^3 + 3$$F_7$. En E tenemos 4(1,2) = (4,5). Ahora, los puntos P = (1,2) y Q = (4,5) están en ambos E y $\widetilde{E}$ $\widetilde{E}$ fue encontrado por edificantes E (de mod 7 a P). También se descubrió que 2(1,2) = (1,-2) y 3(1,2) = $\infty $ mod 73 $\widetilde{E}$.

Answer 1

Se ha encontrado que el modulo $73$, $(1,2)$ es una cuestión de orden $3$.
Desde $(4,5)$ modulo $73$ ni $(1,2),(1,-2)$ ni $\infty$, que no puede estar en el grupo generado por $(1,2)$.

Usted debe tratar de calcular el grupo de la curva de reducción de módulo de un par de primos y encontrar los números primos distintos de $73$ donde la reducción de $(4,5)$ no está en el subgrupo generado por la reducción de $(1,2)$.

Answer 2

Alternativamente, usted puede utilizar canónica de alturas en $E$. Por las propiedades de la canónica de alturas $\hat{h}(kQ)=k^2\cdot \hat{h}(Q)$, para cualquier $Q\in E(\mathbb{Q})$ y cualquier $k\geq 1$. Por lo tanto, si $k\cdot (1,2) = (4,5)$, se deduce que el $k^2\cdot \hat{h}(1,2)=\hat{h}(4,5)$, pero $$\hat{h}(1,2)= 1.14638174824\ldots, \text{ and } \hat{h}(4,5)=1.15045975869,$$ por lo $k^2\cdot \hat{h}(1,2)=\hat{h}(4,5)$ es imposible para $k\in\mathbb{N}$.

El uso de alturas puede hacer un poco mejor, y comprobar que no hay ninguna $n$ $m$ enteros tales que $n\cdot (1,2)=m\cdot (4,5)$. Cualquier $\mathbb{Z}$-relación lineal sería recogido por la altura de la matriz de $(1,2)$$(4,5)$. Más concretamente, si $P$ $Q$ son puntos racionales, definimos $\langle P,Q\rangle = \hat{h}(P+Q)-\hat{h}(P)-\hat{h}(Q)$ y una matriz $$H=\left(\begin{array}{cc} \langle P,P\rangle & \langle P,Q\rangle \\ \langle Q,P\rangle & \langle Q,Q\rangle \end{array} \right),$$ y hay un $\mathbb{Z}$-combinación lineal de $P$ $Q$ (módulo de torsión) si y sólo si el determinante de a $H$ es cero. Sin embargo, para $P=(1,2)$ $Q=(4,5)$ el determinante de a$H$$1.15092709663\ldots \neq 0$, y por lo tanto $P$ $Q$ son independientes.