presentación de GL(n,K)

Question

deje $K$ ser un campo, $n \geq 1$. denotar $E_{i,j}$ la primaria de la matriz de tener $1$ en la diagonale y en la entrada de $(i,j)$, e $E_i(a)$ la primaria de la matriz $diag(1,...,a,...,1)$. usted sabe que $GL_n(K)$ es generado por estas matrices, pero ¿qué relaciones que necesitamos hacer en el fin de conseguir una presentación para $GL_n(K)$?

aquí están algunas de las relaciones, que corresponden a simples relaciones acerca de la fila de operaciones:

• $E_i(1)=1$
• $E_i(ab) = E_i(a) E_i(b)$
• $E_i(a) E_j(b) = E_j(b) E_i(a)$
• $(E_j(-1) E_{ij})^2=1$
• $E_j(a+b)^{-1} E_{ij} E_j(a+b) = E_j(a)^{-1} E_{ij} E_j(b) E_i(a)^{-1} E_{ij} E_j(a)$
• $ (E_{ji} E_{ij} E_{ji} E_j(-1))^2=1$

son estas relaciones? ¿cómo podemos demostrar que?

EDICIÓN: Mariano ha dado un contraejemplo al $K = \mathbb{F}_2$. bien, ¿cómo podemos solucionar este problema? agregar más relaciones? incorporar la estructura de $K$ como un anillo? ¿qué acerca de ejemplos concretos tales como $K=\mathbb{Q}$?

Answer 1

Esta es una respuesta hacia los lados.

Deje $E_{ij}(a)=I+a E_{ij}$$i\neq j$$a\in A$.Estas matrices de generar la conmutator subgrupo $$E(n, A)=[\mathrm{GL}(n, A),\mathrm{GL}(n, A)]\subseteq\mathrm{GL}(n, A).$$ Uno puede comprobar fácilmente que la obvia las relaciones satisfecho por estos elementos son $$E_{ij}(a)E_{ij}(b)=E_{ij}(a+b),$$ $$[E_{ij}(a),E_{jk}(a)]=E_{ik}(a) \mbox{ if $i\neq k$,}$$ $$[E_{ij}(a),E_{kl}(b)]=1 \mbox{ if $i\neq l$ and $j\neq k$.}$$ Sin embargo, el grupo presentado por los generadores y esto de las relaciones es no $E(n,A)$, pero nosotros lo llamamos el $*n$-th inestable Steinberg grupo* $\mathrm{St}(n, A)$$A$. En general, este es mayor que (precisamente, una extensión de) $E(n,A)$.

(NB: El siguiente párrafo ha sido modificado para hacerlo coincidir con la realidad. Gracias a Allen por señalar el error en el comentario de abajo)

Esto se observa, por ejemplo, porque el mapa $\mathrm{St}(n, A)\to E(n,A)$ tiene un no-trivial kernel. De hecho, después de pasar por la directa límite de $n$ va al infinito, el núcleo de ese mapa es precisamente el segundo algebraicas $K$-grupo de teoría de $A$, $K_2(A)$. Milnor muestra en su libro que $K_2(\mathbb{R})$ es incontable, y se describen $K_2(\mathbb Q)$ (él también muestra que $K_2(\mathbb Z)$ es cíclico de orden dos, así que esto puede ser hecho por los anillos que no son campos demasiado...)

Una buena referencia para todo esto es Jonathan Rosenberger del Algebraicas $K$-teoría y sus aplicaciones, y no es John Milnor de la Introducción a la algebraicas $K$-teoría, que es también muy agradable.

Una breve descripción intuitiva para $K_2(A)$ está: mide cuánto más información hay en la primaria matrices de un anillo que no se sigue formalmente de la Steinberg relaciones.

Answer 2

Supongamos $R=\mathbb F_2$ es el campo con dos elementos y $n=2$. Entonces no debemos considerar las matrices $E_i(a)$, de la única manera posible de $a$$1$, por lo que su grupo se genera por $\alpha=E_{12}$$\beta=E_{21}$. Su cuarto relación implica que $$\alpha^2=\beta^2=1.$$ Your fifth equation is empty in this case (for it is only meaningful for when $un$ and $b$ are non-zero elements of the field which add up to a non-zero element of the field!) Finally, your sixth relation in this case tells us that $(\alpha\beta\alpha)^2=(\beta\alpha\beta)^2=1$, pero estas dos igualdades seguir a partir de la ecuación anterior.

Así vemos que el grupo generado por la $E_i(a)$'s y el $E_{ij}$ sujeto a sus relaciones es, en este caso, $$\langle\alpha,\beta:\alpha^2=\beta^2=1\rangle.$$ Este es un infinito de grupo, por lo que no es $\mathrm{GL}(2,\mathbb F_2)$.

Exactamente el mismo razonamiento muestra que lo mismo sucede para todos los $n\geq 2$: usted obtener productos libres de grupos cíclicos de orden $2$.

PD: no sería la primera vez que $\mathbb F_2$ se comporta de manera diferente de otros campos... dudo que sea el caso, y seguramente alguien con la suficiente determinación será capaz de utilizar BRECHA para comprobar si el grupo dada por sus generadores y relaciones es o no $\mathrm{GL}$, al menos para otros campos pequeños...

Answer 3

Es posible que desee buscar en Cohn papel "En la estructura de la ${\rm GL}_{2}$ de un anillo", MR0207856.

Answer 4

Sugiero que da Mariano una marca de verificación. MathOverflow no funcionar correctamente cuando se cambia una cuestión sustancialmente después de que se ha respondido correctamente.

Con respecto a su revisado pregunta, podemos corregir la presentación por tirar a la basura y el uso de Steinberg presentación, que funciona sin problemas. No he podido encontrar una copia en línea de su periódico, pero esta 1971 artículo se describe cómo presentar el R-puntos de cualquier semisimple simplemente conectado Chevalley-Demazure grupo, para R, cualquier anillo conmutativo.

He oído que la presentación en el caso de que el grupo lineal general es debido a Schur, pero no sé de referencia.