¿Por qué podemos clasificar los W*álgebra?

Question

Muchos álgebra de operadores libros discutir el classifiation de W*algebra(álgebra de von Neumann),pero no el C*álgebra, ¿por qué?

Creo directa razón es que tenemos la proyección de comparación teorema en el W*álgebra,para que podamos comparar las proyecciones en el que el factor de W*álgebra.

Pero quiero saber algo de razón básica de que,volviendo a la definición original,a partir de la cual parte, el W*el álgebra es más rico que el de C*álgebra,por lo que puede ser clasificado.

Answer 1

Probablemente hay varias respuestas a esta. Aquí está mi toma.

Dos cosas hacen que la clasificación de las álgebras de von Neumann interesante y útil, en mi opinión:

1) Después de definir el tipo, la abundancia de las proyecciones permite mostrar que cualquier álgebra de von Neumann es una suma directa de subalgebras de algunos de los tipos.

2) Hay muchos casos en que el tipo de información por su propia cuenta una gran cantidad de información acerca de la álgebra: estoy pensando en resultados como:

• Tipo I factores pueden ser completamente clasificada;
• Tipo II$_1$ factores de llevar siempre un fiel normal tracial estado;
• Tipo II$_\infty$ factores son siempre un producto tensor de i$1$ I$\infty$;
• Tipo III factores son cruzado producto de un II$_\infty$.
• AFD factores pueden ser completamente caracterizados para todos los tipos.

Para C $\!\!^*$-álgebras, uno puede tratar de jugar el mismo juego (por ejemplo, "simple" podría jugar el papel de "factor", el Tipo I de C $\!\!^*$-álgebras, puramente infinito frente a lo finito, la AFD, etc.), pero de inmediato es obstaculizada por la (eventual) la falta de proyecciones, que prohíbe a tener siempre un C $\!\!^*$-álgebra como una suma directa de otros más simples.

Como una última palabra, "clasificación" se utiliza también como en Elliott Programa de Clasificación. En este contexto, no está claro en absoluto que álgebras de von Neumann están en mejores condiciones que el C$^*$-álgebras. De tipo de curso me álgebras de von Neumann puede ser completamente clasificado, y con bastante facilidad; pero, por ejemplo, una clasificación completa de todos II$_1$ factores se considera completamente desesperado por todos los expertos.

Answer 2

Esto está en algún lugar entre una respuesta y un comentario. Basta con pensar en la dicotomía entre los dos en el abelian caso. En este caso la clasificación de álgebras de von Neumann es bastante simple. Sin embargo, la clasificación de todos los $C^*$-álgebras esencialmente abarca todo el campo de la topología.

Desde este punto de vista, $C^*$clasificación es desesperado.

También una nota final, que no es un aspecto que hacer una prueba fácil, pero puede ser visto como una extensión de la observación anterior a la no conmutativa caso. En cierto sentido, no sólo son los menos álgebras de von Neumann por lo que son más fáciles de clasificar. Lo que quiero decir con esto es que, dada una sola von Neumann álgebra podría haber muchos débilmente denso $C^*$-subalgebras que no son isomorfos.