Cómo mostrar que $(\mathbb{Q}(\sqrt{2}))^{\times} \cong (\mathbb{Q}(\sqrt{3}))^{\times}$

Question

Cómo mostrar que $$(\mathbb{Q}(\sqrt{2}))^{\times} \cong (\mathbb{Q}(\sqrt{3}))^{\times}$$ where $(\mathbb{Q}(\sqrt{2}))^{\times}$ is multiplicative group of $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. La asignación de $a+b\sqrt{2} \mapsto a+b\sqrt{3}$ es bueno para demostrar que el aditivo grupo de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es isomorfo con aditivo grupo de $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$. Y me mostró que $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ no son isomorfos. Pero para multiplicativo parte de que no podía encontrar una buena asignación.

Answer 1

Sugerencias:

• ${\bf Q}^\times\cong \{\pm1\}\times\bigoplus_p{\bf Z}$, donde el $p$th de coordenadas es el poder de la $p$ en la factorización prima de un racional positivo/negativo en el primer poderes, y el signo es el racional del signo.
• Tanto en ${\bf Q}(\sqrt{2})$ ${\bf Q}(\sqrt{3})$ han única factorización (o, más precisamente, sus anillos de enteros)