Es este grupo abelian?

Question

He intentado mostrar que el siguiente grupo abelian por la manipulación de las relaciones, pero que no funcionan. Por favor, muéstrame el camino correcto. El grupo es $$G:=\left<x,y \mid xyxy^2=yxyx^2=1\right>$$

Answer 1

Lo siento por este tipo de respuesta. @Tara sugerencia es suficiente, pero la mía es la base de Van Kampen diagrama.

Answer 2

Sugerencia: Usted puede identificar a $xyxy^2$ como subword de $yxyx^2$. En detalles:

$$\begin{array}{ll} yxyx^2=1 & \Rightarrow xyxyx^2=x \\ & \Rightarrow (xyxy^2)y^{-1}x^2=x \\ & \Rightarrow y^{-1}x^2=x \\ & \Rightarrow y^{-1}x=1 \\ & \Rightarrow x=y \end{array}$$

Por lo $G \simeq \langle x \mid x^5=1 \rangle \simeq \mathbb{Z}_5$.

Answer 3

SUGERENCIA: De $xyxy^2 = 1$, consigue $xyx = y^{-2}$. Trate de sustituir esto en $yxyx^2 = 1$.