Son estas definiciones de la intersección de la multiplicidad equivalente?

Question

Estoy bastante seguro de que la respuesta es sí.

Yo normalmente trabajo a lo largo de $\mathbb{C}$ así que voy a hacerlo aquí también, para evitar que me de hacer errores tontos.

En el espacio proyectivo, uno tiene Serre la célebre definición de la intersección de la multiplicidad. Si estamos tratando con dos curvas que se encuentran en una superficie de $C,D \subset S$ hay otra definición de intersección de la multiplicidad, ver Beauville, complejo de superficies algebraicas, definición I. 2.

Dadas dos curvas de $C, D \subset S \subset \mathbb{P}^n$, se puede utilizar tanto en las definiciones para calcular la multiplicidad de intersección de las dos curvas. Mi pregunta ahora es: ¿ellos siempre están de acuerdo?

Tengo la idea de que la solución debe ir de alguna manera como este: Una intersección de estas dos curvas es siempre Cohen Macauly, por lo que podemos descartar la mayor Tor términos en Serre de la definición. A continuación, utilice algunos de álgebra conmutativa para hacer las dos expresiones iguales. Sin embargo, no tengo idea de si estas afirmaciones son aún cierto, por no hablar de cómo se prueban. Especialmente a mi álgebra conmutativa no es fuerte.

Aunque una prueba plena sería impresionante, estoy muy satisfecho con una respuesta de si o no combinados con un boceto de una prueba.

Muchas gracias!

La integridad del yo del estado de las definiciones a continuación:

Serre:

Deje $X$ ser una variedad lisa y $V, W$ dos cerrados irreducibles y la reducción de subvariedades representado por el ideal poleas $I$$J$. La intersección de la multiplicidad en una componente irreducible $Z$ $V\cap W$ es $$ \mu(Z, V,W)=\sum_{i=0}^\infty (-1)^i \operatorname{longitud}_{\mathcal{S}_{X,z}} (\operatorname{Tor}^i_{\mathcal{S}_{Z,z}}(\mathcal{S}_{X,z}/I,\mathcal{S}_{X,z}/J)) $$ donde $z$ es el genérico punto de $Z$.

Beauville:

Deje $C,D$ ser dos distintos irreductible curvas sobre una superficie lisa, $x \in C \cap D$ $\mathcal{O}_x$ el anillo local de $S$$x$. Deje $f$ resp. $g$ ser un local de la ecuación de $C$ resp. $D$ $\mathcal{O}_x$ . Entonces $$ \mu(x; C, D) = \dim_{\mathbb{C}}\mathcal{S}_x/(f,g) $$

Answer 1

Ya que nadie parece haber ofrecido una respuesta, al menos me gustaría señalar algunas de las referencias y de motivación ideas para su segunda definición.

La motivación para el Beauville definición aparece en

• Beltrametti; Carletti; Gallarati; Bragadin - Conferencias en las Curvas, Superficies y Proyectiva Variedades: Una Visión Clásica de la Geometría Algebraica.

En esencia, que es la definición abstracta a la que llegan para demostrar que la definición geométrica a través de la multiplicidad algebraica de los puntos en común de intersección, dado clásicamente por la eliminación de la teoría con la resultante de los polinomios de ambas curvas, es independiente de los afín coordenadas locales y por lo tanto intrínseca. Esta es la razón por la Beauville y otros autores (como Hulek, Harris o Perrin) comenzar directamente con el valor intrínseco de la caracterización como definición, en lugar de mencionar que viene de la expresión algebraica de la caracterización de los puntos de intersección de la misma manera como la multiplicidad de un polinomio de cruzar el eje x, es decir, tener un múltiplo de la raíz.

El otro más abstracto y general de la definición que utiliza el álgebra homológica está altamente relacionado con la homológica conjeturas y Serre la multiplicidad de las conjeturas, los cuales son tratados en detalle aquí:

• Serre - Local Álgebra, Springer, 2000.
• Roberts - Multiplicidades y las Clases de Chern en el Local de Álgebra, Cambridge Univ. Press, 1998.
• Fulton - Intersección De La Teoría, Springer, 1998.

Especialmente el primero y el último de los títulos de mostrar la equivalencia de ambas definiciones en términos muy generales del establecimiento: si dos subvariedades $V,W$ de un nonsingular variedad $X$ satisfacer propertly en un punto de $P$, Serre mostró que SÍ, clásico de la intersección de la multiplicidad (por ejemplo a través de Samuel multiplicidad, que se reduce a la fórmula para el caso de curvas) está dada por: $$i(P, V\cdot W; X)=\sum (-1)^i\;\text{length}(\text{Tor}_i^A(A/I, A/J)),$$ donde a es el anillo local de $X$$P$, e $I, J$ son los ideales de V y W. Una prueba de ello es que en Fulton del libro anterior, pero no es sencillo, ya que requiere la lectura de varios capítulos para hacer todas las conexiones de sus definiciones.