Categorial definición de subconjuntos

Question

No puedo ver por qué esta definición http://en.wikipedia.org/wiki/Subobject es equivalente a los subconjuntos en la categoría de conjuntos. Estoy confundido por los hechos siguientes,

1) el orden parcial se define entre los morfismos, y no a los objetos (que son los conjuntos de la categoría de juegos), pero el subconjunto relación debe contener entre conjuntos (es decir, objetos)

2) ¿por qué hay tres objetos involucrados, cuando para un subsetrelation dos conjuntos están involucrados?

¿Cómo esta definición tiene sentido, por ejemplo, para $\{ 1 \} \subset \{ 1,2,3 \}$?

Answer 1

Voy a intentar transmitir la idea. En lugar de pensar en un subconjunto $\{1\}\subseteq\{1,2,3\}$ simplemente como el conjunto de $\{1\}$, hacer hincapié en la inclusión de $\{1\}\hookrightarrow\{1,2,3\}$ en su cabeza.

Por qué? A partir de la categoría de punto de vista, no hay distinción real entre isomorfo conjuntos (y en la categoría de conjuntos, "isomorfo" significa "de la misma cardinalidad"). De hecho, $\{1\}$, $\{2\}$ y $\{\text{elephant}\}$ son todos isomorfos como conjuntos. Esto significa que si usted acaba de definir un subobjeto de $A$ a ser un objeto que tiene una monomorphism a $A$, $\{\text{elephant}\}$ será un subobjeto de $\{1,2,3\}$, como se $\{1\}$$\{2\}$.

Ahora usted quiere de una manera de distinguir a $\{1\}$ $\{2\}$ como diferentes subconjuntos (y podrías estar tentado a tratar de llegar a una definición en la que $\{\text{elephant}\}$ no es un subconjunto de a $\{1,2,3\}$). Usted quiere decir "$B$ es un subobjeto de $A$ si hay monomorphism de $B$ $A$y los elementos de $B$ realmente están en $A$". Esto es imposible en términos categóricos, porque "los elementos de la" no tiene sentido en una categoría.

Y seamos sinceros, no nos interesa acerca de los nombres de los elementos en todos nuestros conjuntos. Si queremos dar un nuevo nombre (decir $\text{elephant}$) para el elemento 1 de los conjuntos, se puede hacer así y nada va a explotar. En este espíritu, no nos interesa si el elemento en $\{1\}$ es 1 y el elemento en $\{2\}$ es realmente llama 2. Lo que nos importa es cómo los conjuntos de $\{1\}$ $\{2\}$ han inyecciones (monomorphisms) a $\{1,2,3\}$ (en este caso, lo que las imágenes de los morfismos son). Esto es lo que distingue $\{1\}\hookrightarrow\{1,2,3\}$$\{2\}\hookrightarrow\{1,2,3\}$: a pesar de $\{1\}$ $\{2\}$ son isomorfos como conjuntos (en este caso, incluso, de una manera única), no existe un isomorfismo entre ellos que harán que la inclusión $\{1\}\hookrightarrow\{1,2,3\}$ corresponden a la inclusión $\{2\}\hookrightarrow\{1,2,3\}$.

Ahora echemos un vistazo a la inyección de $\{\text{elephant}\}\hookrightarrow\{1,2,3\}$ asignación de $\text{elephant}$$2$. En el espíritu de la categoría teoría, no hay ninguna diferencia entre incluida $\text{elephant}$ a $\{1,2,3\}$ de esta forma o el elemento $2$ en la forma habitual. Y de hecho, las inclusiones $\{2\}\hookrightarrow\{1,2,3\}$ $\{\text{elephant}\}\hookrightarrow\{1,2,3\}$ son equivalentes para la relación de equivalencia se explica en el artículo de la Wikipedia (hay un isomorfismo entre el $\{2\}$ $\{\text{elephant}\}$ haciendo el triángulo formado de este isomorfismo y las dos inclusiones conmutar -- en otras palabras, si de repente nos cambie $\text{elephant}$ a 2, luego de la inclusión $\{\text{elephant}\}\hookrightarrow\{1,2,3\}$ se convierte de repente en el mismo como la inclusión $\{2\}\hookrightarrow\{1,2,3\}$).

Permítanme tratar de resumir la situación en una sola frase: consideramos que los subconjuntos de a $A$ (clases de equivalencia) de las inclusiones de cualquier conjunto en $A$, donde se consideran dos inclusiones a ser el mismo si tienen la misma imagen (de hecho, esto es lo que la relación de equivalencia asciende a).

Me resulta difícil explicar esto, pero espero que esto está lo suficientemente cerca del corazón de la materia para ser útil. Permítanme darles un confuso comentario: uno podría inyectar $\{1\}$ a $\{1,2,3\}$ mediante la asignación de 1 a 2. En ese caso, debemos considerar la inclusión como el mismo subobjeto como la habitual inclusión de $\{2\}$ a $\{1,2,3\}$ (es decir, los dos monomorphisms son equivalentes).

Answer 2

Cuando uno comienza a aprender la categoría de teoría, a menudo se aprende la forma de pensar acerca de los conceptos, que uno ya sabe (o reclamaciones a saber) en una nueva, casi siempre es más conceptual. Y uno también aprende que algunas de las nociones que se utilizan todo el tiempo fuera de la categoría de la teoría, en realidad no captura de lo que realmente está pasando.

Por ejemplo, este es el caso de la inclusión de conjuntos. En cualquiera de los comunes axiomatizations de la teoría de conjuntos tiene sentido preguntar si dos conjuntos de $X,Y$ están contenidos en cada uno de los otros. Esto es sólo una propiedad. Pero en algunos casos esto es muy torpe: Es$42$$\pi_4(S^2)$? Probablemente no, pero esto depende de las definiciones precisas de estos conjuntos, y en cualquier caso la respuesta no da ninguna pista acerca de estos dos objetos. Con la de von Neumann definición de los números naturales, tenemos $2 \subseteq 3$ (es decir, $2=\{0,1\}$$3=\{0,1,2\}$). Pero, de nuevo, se trata de una propiedad útil? ¿Cuál es la razón de esta inclusión? Y es esta la razón única en todo? Un conjunto con tres elementos tiene tres subconjuntos de dos elementos. En otras palabras, hay tres inyectiva mapas de $2 \to 3$, y nadie puede ser el preferido de los otros. Por lo tanto, en lugar de decir que $2 \subseteq 3$ tiene o no tiene, es más significativo si algún mapa en $2 \to 3$ testigos $2 \subseteq 3$. Y esto es exactamente lo que sucede en la categoría de teoría. Al igual, que en realidad no tiene sentido preguntar si el conjunto de fundamentos teóricos de la garantía de que $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$. Es más significativo para preguntar si un determinado mapa de $\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ proporciona un motivo para escribir $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$. Y, por supuesto, también debe especificar que la estructura de esta inclusión se refiere a, por ejemplo, podría referirse a $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Q}$ como anillos conmutativos. A continuación, el mapa se requiere para ser un homomorphism de anillos conmutativos. Tal vez me sobre-enfatizar estas trivialidades aquí, pero los estudiantes siempre hacerse estas preguntas las cuales están bien definidas desde un punto de vista teórico, pero en realidad no tienen ningún significado en absoluto. Y me pregunto por qué esto todavía sucede.

De todos modos, después de esta motivación es fácil entender la definición de un subobjeto en una categoría arbitraria $C$. Si $X,Y$ son objetos de $C$, no tiene sentido preguntar si $X$ es un subobjeto de $Y$. En lugar de eso, uno se puede preguntar que monomorphism $X \to Y$ proporciona una razón para esto, y nos acordamos de ella, es decir, pertenece a los datos de la subobjeto! Por otra parte, dos razones $X \to Y$ $X' \to Y$ son equivalentes si existe un isomorfismo $X \cong X'$ de manera tal que la obvia diagrama de desplazamientos. Una clase de equivalencia con respecto a esta relación se llama un subobjeto de $Y$.

Si $C$ es la categoría de conjuntos, entonces no es un bijection entre los subconjuntos de a $Y$ y los subobjetos de $Y$. Declaraciones similares mantenga para las categorías de estructuras algebraicas. Esto no quiere decir que hemos encontrado una forma más complicada definición de subestructuras; en cambio, hemos encontrado la correcta. Abra cualquier libro sobre la teoría de galois y campo de extensiones y reemplazar todas partes "campo de extensión" por "morfismos de campos", desarrollará el tema mucho más transparente y comprensible (si alguien está interesado me puede ampliar este).

Answer 3

1) el orden parcial se define entre los morfismos, y no a los objetos (que son los conjuntos de la categoría de juegos), pero el subconjunto relación debe contener entre conjuntos (es decir, objetos)

Hay una lamentable notacional confusión aquí, que ha experimentado la categoría de los teóricos de la desenredar mentalmente, pero ayuda a explicar explícitamente para los principiantes.

Cuando escribimos $u : S \to A$, significa que hay un morfismos $\langle S, A, u \rangle$ en la colección de $\textbf{Mor}_C$ de la categoría. En otras palabras, los morfismos llevar con ellos a su propio origen y de destino de los objetos (la $S$ e las $A$ en este caso). Así, como se puede ver, cuando estamos definiendo un orden parcial en morfismos, los objetos de origen de $S$ también están involucrados. (El uso de triples $\langle S, A, u\rangle$ es una manera de formalizar lo que morfismos son. También hay otras maneras, pero será más complicado en este contexto).

Dado que el orden parcial se define sólo entre los morfismos que conducen a $A$, estamos mentalmente puede borrar la $A$ en los datos, y respecto de los morfismos como acaba de ser pares $\langle S, u\rangle$. Por lo tanto, estamos diciendo $S$ es un objeto que "se parece" un subconjunto de a $A$, e $u$ es la manera de interpretar sus elementos como los elementos de $A$.

Por eso, $\langle S, u\rangle \leq \langle T, v\rangle$ significa que $S$ $T$ "parezca" los subconjuntos de a $A$, tenemos formas de interpretación de sus elementos como las de $A$ y, además, también hay un monomorphism $w : S \to T$, lo que nos permite interpretar los elementos de $S$ como los elementos de $T$ en una manera que es consistente con $u$ y $v$.

Por otra parte, $\langle S, u\rangle \equiv \langle T, v\rangle$ significa que $S$ $T$ son isomorfos en una manera que es consistente con el elegido interpretaciones $u$$v$.

2) ¿por qué hay tres objetos involucrados, cuando para un subsetrelation sólo dos juegos están involucrados?

Quiere pensar de los objetos en una categoría de tipos en lugar de conjuntos. Sólo se puede hablar de la igualdad de dos elementos dentro del mismo tipo. Así, el conjunto normal de la teoría de la locución $S \subseteq T \iff (\forall x.\, x \in S \to x \in T)$ es incoherente de un tipo de punto de vista. Se trata de tomar un elemento de tipo $S$ (viz., $x$) y hablar acerca de su igualdad con los elementos de tipo $T$. Un tipo-forma correcta de decir $S \subseteq T$ es $$\forall x : S.\, \exists y : T.\, u(x) =_A v(y)$$ En otras palabras, para hablar de $S$ ser un subconjunto de a $T$, tenemos un conjunto mayor $A$, de la que tanto $S$ $T$ son parte (intuitivamente), y tenemos formas de interpretación de los elementos de $S$ $T$ como elementos de $A$ (proporcionado por el monomprhisms $u$$v$.) Esto es precisamente lo que se entiende por $\langle S, u\rangle \leq \langle T, v\rangle$.